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TrigonometríA


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TRIGONOMETRÍA

“Los historiadores concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Sócrates los iniciadores de la Trigonometría. Entre las primeras aplicaciones que se hicieron de esta ciencia hay una que se le atribuye a Thales de Mileto ( 640-550 a. De C.), quien en un viaje a Egipto, habría medido la altura de las pirámides utilizando relaciones entre ángulos y lados de triángulos. Estos conceptos fueron sistematizados cuatrocientos años después por Hiparco ( 160 a. De C.), notable geómetra y astrónomo griego. Por esta razón se le reconoce como el creador de la Trigonometría.”




  • La orientación o sentido de un ángulo está determinada por la dirección en que gira uno de sus rayos mientras que el otro permanece fijo.

Manteniendo fijo el rayo OA y girando el rayo OB en sentido contrario al avance de los punteros del reloj (Anticlockwise), se genera el ángulo AOB denominado como ángulo positivo



Manteniendo fijo el rayo OA y girando el rayo OB en el mismo sentido al avance del los punteros del reloj ( Clockwise), se genera el ángulo AOB denominado ángulo negativo



Nota: El rayo que permanece fijo se le denomina lado inicial del ángulo, mientras que al rayo que gira se le denomina lado terminal.





  • Sistemas de medición de ángulos




  1. Sistema sexagesimal: en este sistema la unidad de medida es el grado sexagesimal, lo que se anota 1°. Esta unidad corresponde a la medida de un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la trescienta ava parte de la circunferencia.. Recibe el nombre de sexagesimal debido a que cada ángulo de un grado se subdivide en 60 partes iguales, cada una de las cuales corresponde a un ángulo de un minuto ( 1’). A subes, cada ángulo de 1’ se subdivide en 60 partes iguales, cada una de las cuales corresponde a un ángulo de un segundo ( 1”)




  1. Sistema radial: En este sistema la unidad de medida es el radian ( 1 rad). Esta unidad equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia


Nota: como sabemos, el radio está contenido 2veces en la circunferencia. Esto permite expresar las siguientes equivalencias:

Ejercicios

Calcule la medida equivalente en radianes


S o l u c i o n e s


 


Calcule la medida equivalente en grados sexagesimales.


Solución








  • Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo


Razón: es una comparación por cuociente entre dos cantidades





Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés. Las calculadoras científicas y gráficas usan esta última abreviatura.
Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3 m.
Solución:

Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones:





2. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15 m, hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo mayor


Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:



En todo triángulo rectángulo, cualquier razón trigonométrica correspondiente a un ángulo agudo es siempre igual a la razón de su ángulo complementario





  • La circunferencia goniométrica




Se llama a sí a toda circunferencia cuyo radio se considera de medida unitaria (1 u) y que tiene su centro ubicado en el origen O(0,0) de un sistema de ejes coordenados perpendiculares





Nota: La palabra goniométrica proviene del griego gonos= ángulos y metría = medición


  • Esta circunferencia es un elemento auxiliar utilizado para definir el valor y el signo que toman las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida.




  • Si para cualquier ángulo determinado en la circunferencia goniométrica, consideramos el punto P(x,y) como la intersección del lado terminal de con dicha circunferencia, entonces podemos definir:




cos = x ------> abscisa de P

sen = y ------> ordenada de P





Resumen razones trigonométricas básicas de los ángulos notables en el primer cuadrante.


En grados0°30°45°60°90°En radianes0Seno01Coseno10Tangente01No

definida


Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última.

Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.



Signos de las funciones trigonométricas

De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado Terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la “ ley de los signos”, las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas
Signo de las funciones trigonométricas
Medida del ánguloCuadranteRazónSignoRango +

+

+[0,1]



[0,1]

[0,+[

Medida del ánguloCuadranteRazónSignoRango+

-

-[0,1]



[-1,0]

]-,0]-

-

+[-1,0]


[-1,0]

[0,+[-

+

-[-1,0]


[0,1]

]-,0]


Ejercicios.




En los ejercicios 1 y 2 se dan las coordenadas de P; calcule el valor de las funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. En los ejercicios 3 a 6 deduzca los signos de las funciones trigonométricas para el ángulo que se da.
S o l u c i o n e s
 


 


 


 


 


 



Reducción al primer cuadrante

Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario". Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.




Funciones trigonométricas de (180° - a):

Figura 1



Ángulos del Segundo cuadrante





Ángulos del tercer cuadrante






Ángulos del cuarto cuadrante





GRAFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS




  • La grafica de y = senx



Características de la función seno


  • El dominio es el conjunto de todos los números reales

  • El rango o recorrido es [-1,1]

  • La función seno es impar y la gráfica es simétrica con respecto al origen

  • La función seno es periódica, con periodo

  • La intersección con el eje x son: , la intersección con el eje y es : 0

  • El máximo valor es 1 y ocurre cuando x = y el mínimo valor es –1 y ocurre cuando x =

La gráfica de y = cosx


Características de la función Coseno




  • El dominio es el conjunto de todos los números reales

  • El rango o recorrido es [-1,1]

  • La función coseno es una función par y la gráfica es simétrica con respecto al eje y

  • La función coseno es periódica y su periodo es

  • La gráfica de y 0 cos(x) intersecta al eje x en: mientras que dicha gráfica intersecta al eje y en: 1

  • El máximo valor que alcanza es 1 y ocurre cuando x = , mientras que el mínimo valor es –1 y lo alcanza cuando x =




  • La gráfica de y = tan(x)

Características de la función tan(x):




  • El dominio es el conjunto de todos los números reales, excepto los múltiplos de

  • El rango o recorrido es el conjunto de los números reales

  • La función tangente es una función impar y la gráfica de y = Tan(x) es simétrica con respecto al origen

  • La función tangente es periódica y su periodo es

  • La función y = tan(x) intersecta al eje x en , 2,........., e intersecta al eje y en el punto 0

  • Las asíntotas verticales ocurren cuando x =

Otras gráficas


y = cotx

y = secx

y = cscx



Teorema. Si la amplitud y periodo de están dados por : Amplitud = , Periodo =

Definición: Para las gráficas de

.

El desfase puede ser a la izquierda si < 0 y a la derecha si >0.



Ejemplo: Determine la amplitud y periodo de la función y luego grafique un ciclo
Solución





Ejercicios:
(1) Halla la amplitud y el periodo y traza la gráfica de la ecuación

(2) Halla la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase y traza la gráfica de la ecuación





Biorritmo: La conocida teoría del biorritmo utiliza las gráficas de tres funciones senoidales simples para hacer predicciones sobre el potencial físico, emocional e intelectual para un día. Las gráficas se dan para y = a sen bt para t en días, con t = 0 correspondiente al nacimiento y a = 1 denota 100% del potencial.

(a) Halla el valor de b para el ciclo físico, que tiene un periodo de 23 días, para el ciclo emocional ( 28 días) y para el ciclo intelectual ( 33 días)

(b) Evalúa los ciclos de biorritmo de una persona que acaba de cumplir 21 años y tiene 7670 días de nacido
Componentes de las mareas: La altura de la marea, en un lugar en particular de una playa, se puede predecir si se usan siete funciones trigonométricas ( llamadas componentes de mareas) de la forma f(t) = a cos( bt + c).

El principal componente lunar se puede aproximar mediante la ecuación donde t es en horas y t = 0 corresponde a la medianoche. Trazar la gráfica de f si a = 0,5 m





  • IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre expresiones trigonométricas que son verdaderas para todas las medidas angulares para las cuales están definidas.


Nota: Las identidades trigonométricas son útiles para reducir, simplificar o transformar otras expresiones trigonométricas, como también para demostrar nuevas identidades.
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