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TitulacióN: licenciado en matemáticas tercer curso 12605 introducción a la geometría diferencial (Troncal)


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PROGRAMA DE LAS ASIGNATURAS

TITULACIÓN: LICENCIADO EN MATEMÁTICAS


TERCER CURSO

12605 INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL (Troncal) (Plan Piloto de adaptación al EEES)

1er SEMESTRE. 4,5 créditos (3 teóricos + 1,5 prácticos)


PROFESOR/ES: D. Pablo Miguel Chacón Martín

                            



CONSIDERACIONES Y OBJETIVOS GENERALES
Para el estudio de determinadas características geométricas de curvas y superficies se hace necesario extender el cálculo diferencial a funciones reales definidas en espacios más generales que los espacios euclídeos Rn.  Esto conlleva analizar bajo otra óptica algunos de los conceptos básicos desarrollados en los cursos tradicionales de Análisis Matemático en varias variables. La dependencia esencial del cálculo diferencial en un entorno de un punto de Rn del anillo local de gérmenes de funciones diferenciables  en  dicho punto y no de la estructura vectorial del espacio, abre la posibilidad de generalizar el concepto de diferenciabilidad a espacios topológicos que localmente sean homeomorfos a abiertos euclídeos. Será necesario también dar una relación entre los distintos homeomorfismos locales suficientemente buena para poder independizar los conceptos geométricos de los homeomorfismos particulares utilizados. El establecimiento preciso de estas últimas relaciones permitirá definir diferentes  tipos de estructuras globales diferenciables sobre estos espacios así como objetos geométricos compatibles con las mismas que  posteriormente  serán utilizados para adquirir una mayor compresión de dichas estructuras. En particular en este curso nos proponemos estudiar las llamadas variedades diferenciables, los morfismos entre las mismas y su geometría.

 El objetivo fundamental del curso será que el alumno aprenda los conceptos  geométricos y algunos resultados básicos que aparecen en el estudio de las variedades diferenciales y que maneje con soltura tanto el lenguaje como las técnicas, algunas de ellas de carácter local, que serán desarrolladas en esta Introducción a la Geometría Diferencial.

Supondremos que el alumno esta familiarizado con el cálculo diferencial en varias variables, con el álgebra lineal (en particular con el álgebra tensorial y exterior de un espacio vectorial) y que posee conocimientos elementales de topología tales como los que se imparten en las correspondientes asignaturas de primero y segundo de está titulación. Aunque algunos de los conceptos han sido presentados ya al alumno de forma sucinta en la asignatura obligatoria de Ampliación de Análisis Matemático del curso anterior, nos proponemos profundizar en todos ellos, desarrollando ejemplos y técnicas propias de geometría diferencial que permitan una mayor profundidad y mejor comprensión de los mismos.

Señalemos también que esta asignatura tiene un carácter introductorio cuyos conceptos y técnicas geométricas serán utilizadas en las posteriores asignaturas Geometría Diferencial Local y Geometría Diferencial Global donde se abordan, entre otros, los aspectos riemannianos de las curvas y superficies, la geometría de los grupos de Lie o el lenguaje de  fibrados.



Programa

Tema 1 - VARIEDADES DIFERENCIABLES.

Cartas y atlas diferenciables, estructura diferenciable sobre un conjunto. Topología inducida por una estructura diferenciable. Funciones diferenciables, difeomorfismos.


Tema 2 - ESPACIOS TANGENTE Y COTANGENTE EN UN PUNTO.

Derivaciones. Espacio tangente en un punto. Vector tangente a una curva. Formas del espacio tangente, el espacio cotangente en un punto. La diferencial de una aplicación diferenciable. Reformulación del teorema de la función inversa.

 

Tema 3 - INMERSIONES Y SUMERSIONES.

Inmersiones, subvariedades y embebimientos. Espacio tangentes a una subvariedad. Subvariedades definidas por ceros de funciones. Curvas y superficies del espacio euclídeo. Sumersiones.


 Tema 4 - CAMPOS VECTORIALES.

Campos de vectores. El corchete de Lie. Campos de vectores a lo largo de aplicaciones, campos relacionados. Curva integral de un campo. Flujo de un campo.

 

Tema 5 - ÁLGEBRA TENSORIAL Y CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIEDADES.

Formas diferenciables. Campos de tensores. La derivada de Lie de un tensor. Álgebra exterior La diferencial exterior. El producto interior.

 
Objetivos  de aprendizaje  y destrezas específicas 
Los objetivos generales de este curso son los siguientes:


  • Conocer los objetos básicos de la geometría diferencial: variedades en abstracto, aplicaciones diferenciables, espacios tangente y cotangente, subvariedades, campos de vectores, etc.

  • Conocer las propiedades y resultados más básicos de la geometría diferencial.

  • Conocer y manejar algunos ejemplos notables de variedades y subvariedades.

  • Manejar con soltura formas diferenciables y tensores.

  • Saber operar con la derivada exterior, el producto interior y la derivada de Lie.

 

Se pretende que el alumno sea capaz de calcular y obtener explícitamente los distintos objetos que se presentan en el programa por lo menos para algunas variedades y subvariedades particulares.



 Se indican a continuación, separados por temas, los objetivos específicos de la asignatura y las habilidades o destrezas que se pretende que adquiera el alumno.
Tema 1. Reconocer estructuras diferenciables sobre conjuntos. Decidir cuando dos estructuras diferenciables son equivalentes. Reconocer la topología inducida por una estructura diferencible. Saber si una función real es diferenciable respecto de una estructura diferenciable. Saber cuando un conjunto de funciones diferenciables locales constituyen un sistema local de coordenadas. Conocer la existencia de funciones meseta diferenciables. Determinar si una aplicación entre variedades diferenciables es diferenciable y establecer su expresión en términos de coordenadas locales. Reconocer y comprender el significado de los difeomorfismos locales y globales.
Tema 2. Saber las propiedades de las derivaciones sobre el conjunto de las funciones diferenciables. Entender el significado geométrico de las derivaciones parciales en un punto. Construir el espacio tangente en un punto de una variedad calculando bases de los mismos a partir de sistemas de coordenadas locales. Conocer el concepto de vector tangente a una curva. Identificar las diferentes caracterizaciones de vector tangente en un punto (bien como derivaciones o a partir de clases de curvas diferenciables).  Entender la información geométrica contenida en la diferencial de una función. Saber construir el espacio cotangente en un punto. Saber dar la expresión en coordenadas de los vectores tangentes y las diferenciales en un punto. Conocer la construcción de la aplicación diferencial en un punto, y su traspuesta. Saber calcular la matriz jacobiana asociada respecto de sistemas de coordenadas y su uso para analizar propiedades locales de una aplicación diferenciable. Entender geométricamente el teorema de la función inversa para aplicaciones diferenciables. Caracterizar los difeomorfismos locales en términos de la aplicación diferencial. Analizar si un conjunto de funciones diferenciables constituye un sistema local de coordenadas y analizar los abiertos en los que esto ocurre. Conocer si una aplicación diferenciable es un difeomorfismo local o global.
 Tema 3. Saber cuando una aplicación diferenciable concreta es una inmersión o sumersión local en un punto. Reconocer embebimientos. Saber dar las ecuaciones implícitas y paramétricas de una subvariedad en términos locales y usar dichas ecuaciones para calcular los vectores tangentes en un punto de la misma. Saber determinar si los ceros de varias funciones reales constituyen una subvariedad diferenciable. Conocer el teorema del rango constante y su utilización en el estudio de subvariedades. Saber expresar el espacio tangente y cotangente en un punto de una subvariedad a partir de la descripción local de la misma.
Tema 4. Conocer y saber construir campos vectoriales en diferentes variedades diferenciables. Saber dar la expresión en coordenadas de los mismos. Decidir si dos campos vectoriales descritos localmente en diferentes abiertos coinciden en la intersección de los mismos. Saber si un campo vectorial es tangente a una subvariedad. Reconocer campos vectoriales relacionados mediante aplicaciones. Saber calcular el corchete de Lie de dos campos vectoriales y sus propiedades. Conocer el concepto de curva integral de un campo y saber calcularla en algunos casos concretos. Reconocer el flujo de un campo. Decidir si una colección de transformaciones diferenciables constituyen un grupo uniparamétrico de difeomorfismos y en tal caso calcular su generador infinitesimal.
Tema 5. Conocer y saber construir campos de covectores. Construir los espacios de tensores en un punto y bases locales en los mismos. Saber operar con el producto tensorial. Calcular la imagen inversa de un tensor covariante en coordenadas locales. Saber calcular la derivada de Lie de un tensor y sus propiedades. Reconocer el álgebra exterior y saber operar con el producto exterior. Calcular la diferencial exterior de una forma y sus propiedades. Saber calcular la contracción interior de una forma con un campo y sus propiedades.
Bibliografía
Básica:

  • C.M. Currás, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Publicaciones de la Universitat de Barcelona.

  • J.M. Gamboa y J.M. Ruiz, Iniciación al estudio de las variedades diferenciables,  Ed. Sanz y Torres.

  • J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer Verlag.

 

Complementaria:



  • W.M Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press.

  • M.P do Carmo, Differential forms and applications, Springer Verlag.

  • P.M. Gadea y J. Muñoz-Masqué, Analysis and algebra on differentiable manifolds: a workbook for students and teachers, Kluwer Academic Publishers.

  • N.J. Hicks, Notas sobre geometría diferencial, editorial Hispano Europea.

  • J.A. Thorpe, Elementary topics in differential geometry, Springer.

Metodología docente

Para el desarrollo del programa de la asignatura se llevarán a cabo: clases teóricas, clases prácticas y seminarios tutelados. Para obtener un seguimiento de los objetivos alcanzados en el transcurso del semestre se programarán dos tipos de actividades: entrega de trabajos y exposición de ejercicios.


Las clases de teoría serán en general de pizarra y en ellas se explicarán los puntos indicados en el programa. Las clases prácticas consistirán en la resolución de problemas, para lo cual se proporcionará una colección de ejercicios adecuados a los contenidos y nivel de exigencia del curso. En la medida de lo posible, se presentarán las distintas opciones para resolver un mismo tipo de problemas resaltando con ello las ventajas e inconvenientes de las distintas estrategias.
En estas clases de teoría y de prácticas se pretende establecer un diálogo con el alumnado que permita, entre otros, un intercambio de ideas y matices que sin duda reforzarán el aprendizaje. Asímismo, en las clases se dirige el desarrollo del programa de contenidos pero pretende ser también un incentivo para el resto de actividades. De manera intencionada en estas clases se dejarán ciertos detalles que el alumno deberá completar como trabajo personal.
Los seminarios tutelados consisten en sesiones de una hora de duración en la que se presentará a los estudiantes un asunto o problema sobre el que disctutir. Así pues, estos seminarios pueden entenderse como un foro de discusión de los distintos tópicos vistos en clase donde no únicamente el profesor sea quien resuelva las dudas sino sea el propio colectivo el que vaya construyendo el argumento o resolución del problema. Alternativamente, los alumnos podrán consultar las dudas que les hayan podido surgir al resolver problemas de la hoja de ejercicios.
Tanto para las clases teóricas como para las praćticas, y especialmente en los seminarios tutelados, se hará uso ocasionalmente del ordenador para visualizar con ejemplos algunos de los aspectos tratados en el curso. También se hara uso del ordenador para realizar cálculos simbólicos 
A lo largo del semestre se propondrá una serie de trabajos para entregar que consistirán en la resolución de uno o varios ejercicios de una dificultad similar a la que se podrán encontrar en el examen. Los trabajos podrán también incluir algunas cuestiones teóricas. Estos trabajos son de carácter voluntario. Se incentivará el trabajo en grupo con el que se pretende fomentar entre los alumnos la discusión de los tópicos de la asignatura 
La exposición de ejercicios consistirá en la presentacion por parte del estudiante de la resolución de algun problema propuesto por el profesor. Los alumnos dispondrán de cierto tiempo para preparar los problemas. La exposición de ejercicios es una actividad voluntaria y será realizada en las clases de problemas o en los semianrios tutelados.
Las plataformas virtuales suponen también una ayuda en la docencia. Se hará uso del campus on-line de la Universidad de Salamanca Studium del que podrán sacar especial provecho los estudiantes que por cualquier circunstancia no puedan participar de la totalidad de actividades presenciales. El campus on-line servirá como canal adicional para suministrar las hojas de problemas, trabajos, asignación de ejercicios para exponer, calificaciones, etc. pero también se podrá usar como instrumento de acceso a otros recursos informáticos (programas, información sobre paginas web relacionadas, etc.).
Se establecerá un horario de tutorías donde los alumnos podrán resolver individualmente sus dudas sobre cualquier aspecto de la asignatura (teoría, problemas, trabajos, exposiciones de los otros alumnos, etc.).
Evaluación
Para la evaluación de la asignatura se realizará un examen al final del semestre. Varias de las actividades voluntarias descritas en el apartado de Metodología (trabajos y exposiciones) suponen un proceso de evaluación parcial. En términos generales se seguirá el siguiente criterio de evaluación:

  • Examen: 75 % del total de la nota final.

  • Trabajos: 15% del total de la nota final.

  • Exposiciones: 10% del total de la nota final.

El peso de cada una de estos intrumentos de evaluación podrá variar en función de la participación del alumno en dichas actividades. En caso de que el estudiante no entregue todos los trabajos propuestos la ponderación de este apartado podría ser inferior al 15% aumentando la ponderación del examen. Del mismo modo, la ponderación de las exposiciones podría ser inferior al 10% en función de la particpación del alumno en esta actividad. También en este caso, aumentaría el peso del examen en la calificación final.


El examen escrito constará de una parte teórica y de una parte pŕactica en una proporción del 40% y 60%, respectivamente, sobre la nota del examen.
Los trabajos tendrán una fecha límite de entrega que aproximadamente supondrá un plazo de entrega de 2 semanas.
Para la exposición de ejercicios, el estudiante dispondrá de aproximadamente una semana parar prepara la exposición. El alumno será evaluado tanto sobre la resolución presentada como también sobre las preguntas que puedan surgir por parte del profesor presente como del alumnado.
Para los alumnos que no superen la materia en la primera convocatoria, existirá una segunda convocatoria que consistirá en un examen escrito con las mismas caracteríticas que el primero. Para esta segunda evaluación se tendrán en cuenta los trabajos y las exposiciones que el estudiante haya podido realizar durante el semestre bajo los mismos criterios de evaluación.
Horas estimadas de clase y estudio 
La distribución de horas de clase para cada tema, así como del resto de actividades del curso, será aproximadamente como se indica en la siguiente tabla:


 

Actividades presenciales

Actividades no presenciales

 

Teoría

Problemas

Otros

Estudio

Otros

Tema 1

4

2

 

8

 

Tema 2

5

2

 

10

 

Tema 3

6

3

 

10

 

Tema 4

5

3

 

12

 

Tema 5

6

3

 

12

 

Seminarios tutelados

 

 

6

 

 

Preparación trabajos

 

 

 

 

9

Preparación exposiciones

 

 

 

 

5

Exámenes

 

 

4

 

 

Totales:

26

13

10

52

14

 

Total de horas presenciales: 49.

Total de horas no presenciales: 66.

Total del volumen de trabajo: 115 horas.



12560 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS COMPLEJO (Troncal) (Plan Piloto de adaptación al EEES)

2º SEMESTRE. 7,5 créditos (4,5 teóricos + 3 prácticos)


PROFESOR/ES: D. Jesús Muñoz Díaz

D. Ricardo Alonso Blanco

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