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Resumo da matéria matemática I) NÚmeros naturais: significado, comparaçÃO, ordenaçÃo e representaçÃO


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EXERCÍCIOS.

1) Calcule os conjuntos de divisores dos números abaixo:


D(12)=___________________________________________________
D(25)=___________________________________________________
D(17)=__________________________________________________
D(18)=___________________________________________________
D(3)=____________________________________________________
D(23)=___________________________________________________


NÚMEROS PRIMOS
Repare que em alguns casos dos exercícios que você fez anteriormente só apareceram 2 divisores: D(3), D(5), D(11), D(17) e D(23). Estes números com apenas dois divisores são chamados números primos.

Evidentemente existem infinitos números primos.

Outra observação importante foi a presença em todos os casos acima do divisor 1. Em todos os conjuntos de divisores o número 1 aparece, mas ele não é considerado um número primo.

Você sabia que na aritmética existe uma afirmação verdadeira que diz: “Todo número pode ser decomposto de forma única em um produto de fatores primos?”

Esta afirmação quer dizer que podemos escrever qualquer número através de multiplicações de números primos.

Veja os exemplos.


24=2x2x2x3,

66=2x3x11,

120=2x2x2x3x5,

121=11x11.


Quando escrevemos um número como um produto com o maior número de fatores possíveis, na verdade estaremos escrevendo a decomposição em fatores primos.


  • Represente cada número abaixo com um produto, mas somente com números primos.

a) 16 = ____________________________________


b) 20 = ____________________________________
c) 25 = _____________________________________

VEREMOS, AGORA, UM PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR OS FATORES PRIMOS DE UM NÚMERO.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Ao decompor um número em fatores primos, você deverá observar os critérios de divisibilidade para escolher o primeiro número primo como divisor.


EXEMPLO. Decompor em fatores primos o número 12.


12 2 (posso dividir 12 por 2, pois 12 é par)

6 2 (posso dividir 6 por 2 pois 6 é par)

3 3 (agora vejo que só posso dividir por 3)

1 (1 não é primo. Logo terminei)
Posso então escrever 12=2x2x3.


EXERCÍCIOS GERAIS

1) Mauro, Paula e Aguiar ganharam a mesma quantidade de balas. Mauro guardou as suas em 6 sacos, Paula guardou as suas em 12 sacos e Aguiar guardou as suas em 3 sacos. Sabendo que cada criança distribuiu igualmente as balas em seus sacos, responda:




  1. A quantidade de balas que cada criança ganhou poderia ser 100? Por quê?

R-_________________________________________________________________


  1. Quem guardou mais balas em cada saco?

R-_________________________________________________________________



  1. Num país, a eleição para presidente ocorre a cada 5 anos e para prefeito, a cada 4 anos. Se em 1992 houve coincidência das eleições para esses cargos, qual o próximo ano em que elas voltarão a coincidir?

R-___________________________________________________________________

3) Um carteiro tem várias correspondências para entregar numa rua numerada de 1 a 30. Para as casas pares ele entregará as contas de gás e para as casas terminadas em 0 ou 5 ele entregará as contas de luz.
a) Quantas casas receberão contas de luz?________________

b) Quantas casas receberão contas de gás?_________________

c) Quantas casas receberão as duas contas?_________________

d) Quantas casas receberão só contas de luz?_______________

e) Quantas casas receberão só contas de gás?_______________

f) Quantas casas não receberão contas nem de luz, nem de gás?_____________

4) Paulo, César e Danilo estão numa praça. Paulo volta a esta praça a cada 2 dias, César a cada 5 dias e Danilo a cada 6 dias.
a) Depois de quantos dias os três amigos voltarão a se encontrar?________________
b) Quantas vezes cada um terá voltado a praça ?______________________
5) Quantos números de 3 a 26 não são múltiplos de 2?_____________
6) Quantos números de 3 a 26 não são múltiplos de 3?_________________
7) Quantos números naturais menores que 20 são primos?______________________
8) Qual o maior múltiplo de 7 entre 100 e 1000?____________________
9) Escreva 3 múltiplos de 3 e 5 ao mesmo tempo entre 100 e 200._______________
10) Quais os números primos maiores que 5 e menores que 20?____________

11) Coloque V(verdadeiro) ou F(falso) para cada afirmação abaixo:


( ) a decomposição em fatores primos de 300 é 2x2x3x5x5.

( ) a decomposição em fatores primos de 100 é 2x2x2x5.

( ) a decomposição em fatores primos de 38 é 2x2x7.

( ) a decomposição em fatores primos de 56 é 2x2x2x7.

( ) a decomposição em fatores primos de 350 é 2x3x3x5x7.
12) Coloque V(verdadeiro) ou F(falso);


  1. ( ) Todo número natural é múltiplo de 1.

  2. ( ) Todo número natural é múltiplo de zero.

  3. ( ) O número zero é múltiplo de todos os números.

  4. ( ) O conjunto dos múltiplos de 3 é o conjunto dos números ímpares.

  5. ( ) Todo número primo é ímpar.

  6. ( ) Alguns números primos são ímpares.

  7. ( ) 1 é primo e ímpar

  8. ( ) Todo número múltiplo de 4 é múltiplo de 2.

  9. ( ) Todo múltiplo de 2 e 5 tem como algarismos das unidades o 0.

13) Escreva os números que se pede abaixo:




  1. Um número de 3 algarismos múltiplo de 5:_________________

  2. Um número de 4 algarismos múltiplo de 11:________________

  3. Um número de 5 algarismos diferentes múltiplo de 4:__________

  4. O menor múltiplo de 4 com 4 algarismos:__________

  5. O maior número par, múltiplo de 5 com 4 algarismos diferentes:___________



ESTUDANDO MAIS SOBRE MÚLTIPLOS E DIVISORES

O cálculo dos divisores de um número foi estudado anteriormente de uma forma muito simples: encontrando as multiplicações.


EXEMPLO. Para encontrar os divisores de 20, escreve-se: 20 = 4 x 5, 20 = 2 x 10 e finalmente, 20 = 1 x 20. Logo D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
A dificuldade é encontrar os divisores de números maiores. Precisamos ter certeza de que não esquecemos de nenhum..
EXEMPLO. Encontrar os divisores de 360. Essa decomposição já está feita. Um procedimento muito prático é adicionar uma linha vertical ao lado dos números primos e colocar o divisor de todos, 1, no topo. Cada fator primo será multiplicado por todos os outros da linha acima dele. Veja.
1

360 2 2 (resultado de 2 x 1)

180 2 4 (resultado de 2 x 2. Repare que não é preciso retornar ao 1)

90 2 8 (resultado de 2 x 4)

45 3 3 – 6 – 12 – 24 (resultados de 3 x 1, 3 x 2, 3 x 4, 3 x 8)

15 3 9 – 18 – 36 – 72 (resultados de 3 x 3, 3 x 6, 3 x 12, 3 x 24)

5 5 5 – 10 – 20 – 40 – 15 – 30 – 60 – 120 – 45 – 90 – 150 - 360

1

D(360) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 150, 360.




  • Quantos divisores 360 possui? __________________________________________

  • Quais são os divisores pares? ___________________________________________

  • Quais são os divisores ímpares? _________________________________________

  • Quais são os divisores primos? __________________________________________

Repare que são muitos divisores e poderíamos esquecer algum na hora de lista-los. Como saber, antes de calculá-los, quantos seriam? É possível, mas precisamos antes entender uma forma de representar as multiplicações. A potência.



REPRESENTAÇÃO DE MULTIPLICAÇÕES NA FORMA DE POTÊNCIA

Muita vezes a decomposição mostra uma fatoração como 2 x 2 x 2 x 2 ou 3 x 3. Em Matemática é usual representar essas multiplicações da seguinte forma:


a) 2 x 2 x 2 x 2 = 24 . Lê-se dois elevado à quarta potência. Atenção! Esse resultado não é 8 e sim, 16. Muito cuidado.
b) 3 x 3 = 32 . Lê-se três elevado à segunda potência ou três elevado ao quadrado. Esse resultado é 9.
c) 4 x 4 x 4 = 43 . Lê-se quatro elevado à terceira potência ou quatro elevado ao cubo.

OBSERVAÇÕES.
1) Somente as potências 2 e 3, possuem nomes especiais de quadrado e cubo.

2) No caso de aparecer somente um fator primo, a potência é considerada 1. Exemplos: representamos 3 = 31, 5 = 51, 10 = 101 . É desnecessário utilizar a potência 1. Ela será considerada no caso do cálculo dos divisores.


Voltando à decomposição em fatores primos de 360, podemos escrever na forma de potência como:




360 = 23 x 32 x 5
O procedimento que permite calcular os divisores consiste em somar 1 a cada potência e multiplicar esses resultados. No caso do fator 5, lembre que sua potência é 1.

360 = 23+1 x 32+1 x 51+1
Multiplicando as somas, temos: (3+1) x (2+1) x (1+1) = 4 x 3 x 2 = 24 divisores. Confira com os divisores que você encontrou.
EXERCÍCIOS.
1) Escreva as multiplicações representadas por cada potência, associando com os resultados entre parênteses.
a) 23 = ________________________________ ( ) 27
b) 33 = _________________________________ ( ) 540
c) 42 x 32 = ______________________________ ( ) 162
d) 22 x 33 x 5 = ___________________________ ( ) 144
e) 2 x 34 = _______________________________ ( ) 8

2) Represente as multiplicações na forma de potência. Não é necessário calcular.


a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = ________ f) 2 x 3 x 2 x 3 x 2 = ___________
b) 3 x 3 x 3 x 3 = _________ g) 5 x 5 x 5 x 3 x 3 = ___________
c) 7 x 7 = _________ h) 2 x 3 x 3 x 3 x 3 = ____________
d) 5 x 5 x 5 x 3 x 3 x 2 = _____________ i) 3 x 5 x 7 x 7 x 5 = _____________
e) 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = _____________ j) 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = _____________

3) Encontre todos os divisores dos números abaixo.


a) 45 = _____________________________________________________________
b) 90 = _____________________________________________________________
c) 100 = _____________________________________________________________
d) 200 = _____________________________________________________________
e) 240 = _____________________________________________________________
f) 600 = _____________________________________________________________

4) Um aluno fez várias decomposições em fatores primos. Veja no quadro.



N1 = 22 x 52

N2 = 3 x 5 x 72

N3 = 34 x 2



a) Qual o valor de N1 ? ____________________________________

b) Qual o valor de N2 ? _____________________________________


  1. Qual o valor de N3 ? _____________________________________

5) O mesmo aluno quer, agora, saber quantos divisores tem cada número do quadro.


a) N1 tem ____________ divisores.
b) N2 tem ____________ divisores.
c) N3 tem ____________ divisores.
6) Outro aluno desta sala fez várias decomposições em fatores primos. Mas na hora de dar o resultado, substituiu alguns números pela letra a. Descubra, em cada caso, o valor desta letra.
a) 648 = 23x3a a = ____________
b) 980 = 22x5x7a a = ______________
c) 196 = 22x7a a = _____________
d) 378 = 2x3a x 7 a = _____________

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM


O máximo divisor comum representado por MDC é o maior número que pode ser divisor de um ou mais número. Mais uma vez o método de cálculo desse MDC pode ser facilitado para números grande através da decomposição em fatores primos. Observe.


EXEMPLO. Calcular o MDC entre 24 e 36. Vamos decompor os números em fatores primos e comparar os resultados.




24 2 36 2

12 2 18 2

6 2 9 3

3 3 3 3


1 24 = 23 x 3 1 36 = 22 x 3

Comparando as decomposições vemos que os termos que podem dividir ambos os números é 22 x 3. Repare que 23 é 8 e ele não divide 36. Logo o MDC é 22 x 3 = 12.

O MDC entre dois ou mais números será formado pela decomposição que satisfizer a todos os casos. O fator deve aparecer em todas as fatorações e com as menores potências.
EXEMPLO. Calcular o MDC entre 45, 60 e 75.


45 3 60 2 75 3

15 3 30 2 25 5

5 5 15 3 5 5

1 5 5 1

45 = 32 x 5 1 60 = 22 x 3 x 5 75 = 3 x 52



Nesse caso os únicos fatores comuns foram 3 e 5. O fator 2apareceu como divisor de 60. Logo o MDC (45, 60, 75) = 3 x 5 = 15.
O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o menor valor que pode ser divisível por esses números. Repare que não podemos encontrar o maior, pois os múltiplos são infinitos.

Um procedimento muito prático para encontrar o MMC e o MDC entre dois ou mais números consiste na decomposição simultânea (ao mesmo tempo). Veja.


EXEMPLO. Encontrar o MMC e o MDC entre 90 e 60. Faremos a decomposição em fatores primos dos números ao mesmo tempo. Caso não seja possível dividir algum número pelo mesmo divisor primo, ele será repetido nessa linha.


90 – 60 2 (2 é divisor comum de 90 e 60)

45 – 30 2 (2 só é divisor de 30. O 45 será repetido.)

45 – 15 3 (3 é divisor comum de 45 e 15)

15 – 5 3 (3 só é divisor de 15. O 5 será repetido)

5 – 5 5 (5 é divisor comum de ambos)

1 – 1

MMC (90,60) = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 22 x 3 x 52 = 300.



MDC (90,60) = 2 x 3 x 5 = 30
OBSERVAÇÃO. Há outros métodos, que não serão estudados agora, para encontrar o MDC. Utilize aquele o que preferir.
EXERCÍCIOS.


  1. Utilize qualquer método e calcule.

a) MDC (35,40) = _______________ d) MDC (40,30) = ___________


b) MDC (20,30,25) = ____________ e) MDC (25,60) = ___________
c) MDC (12, 60) = ______________ f) MDC (12,30,60) = __________
2) Calcule o MMC entre os números abaixo:
a) 40 e 30 = ________________
b) 20, 45 e 21= _____________
c) 36, 28 e 34 = _____________
d) 100 e 54 = _______________
e) 24, 36 e 90 = _______________
f) 100, 25, 50 = ________________

3) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças.


( ) O MDC entre dois números é sempre o menor deles.
( ) O MMC entre dois números é sempre menor que o MDC entre eles.
( ) A decomposição simultânea de 24 e 50 é 22 x 3 x 5.
( ) O quociente de 300 pelo MDC (300,600) é 1.
( ) A metade do MMC (30,50) é 15.
( ) O MMC entre dois números é sempre o produto entre eles.


  1. Responda.

a) Qual o menor número que dividido por 4 e 5 deixa o mesmo resto 2? _____________


b) Qual o menor número que dividido por 2, 3 e 5 deixa o mesmo resto 1? __________
c) Qual o MDC entre 22 x 3 x 52 e 2 x 52 ? ____________
d) Qual o MDC entre 3 x 53 x 7 e 32 x 52 x 11? ________________


  1. Quais os quatro menores múltiplos comuns de 9 e 12? __________________



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