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Resumo da matéria matemática I) NÚmeros naturais: significado, comparaçÃO, ordenaçÃo e representaçÃO


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RESUMO DA MATÉRIA MATEMÁTICA
I) NÚMEROS NATURAIS: SIGNIFICADO, COMPARAÇÃO, ORDENAÇÃO E REPRESENTAÇÃO (SISTEMA DE NUMERAÇÃO)
1) Observe o numeral 234546 e responda as perguntas:


  1. Quantos algarismos possui? _____________________

  2. Que algarismo ocupa a 2ª ordem? _____________________

  3. Que algarismo possui o maior valor posicional? ___________________

  4. Que algarismo ocupa a ordem das unidades simples? _________________

  5. Quantas unidades simples o numeral destacado possui? ________________

  6. Que algarismo ocupa a ordem das dezenas simples? _______________

  7. Quantas dezenas simples o numeral destacado possui? _________________

  8. Que algarismo ocupa a ordem das unidades de milhar? __________________

  9. Quantas unidades de milhar o numeral destacado possui? ________________

  10. Que algarismo ocupa a ordem das dezenas de milhar? _____________________

  11. Quantas dezenas de milhar o numeral destacado possui? _____________________

2) Preencha os espaços com os valores correspondentes às decomposições indicadas.




  1. 45678 - ________dm + ______um + ________cs + _______ds + _________us

  2. 56789 - ________dm + ________us

  3. 123 567 - ________dM + _____ds + _______us

  4. 230056 - ________ds + __________us

  5. 3050600 - _______cs

3) Componha os numerais utilizando algarismos.




  1. 3 uM + 2 dm + 4 cs = _________________ b) 12 uM + 23 us = ___________________

  1. 5 dM + 123 us = ___________________ d)12 um + 34 ds = ____________________

4) Escreva em cada item o número de acordo com as informações indicadas.


a) Número de quatro algarismos diferentes, com unidade simples par e cuja soma dos algarismos vale vinte e sete: ___________________

b) Número de seis algarismos com as ordens pares iguais entre si e diferentes das ordens ímpares, múltiplo de onze: _________________

c) Número com trinta e três dezenas simples, múltiplo de nove: ______________


  1. Número menor 3456 unidades que o número formado por 23 dezenas de milhão: ____________

5) Calcule para cada item quanto falta ao número 456789 para que possua:




  1. Mais uma dezena simples: ____________________________________

  2. Mais uma centena simples: ___________________________________

  3. Mais quatro unidades de milhar: _______________________________

  4. Cinco dezenas de milhão: ____________________________________


OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS - TEORIA
Os números naturais escritos a partir do 1 são infinitos e apresentam quantidades diferentes de algarismos para representá-los. Veja:

. de 1 até 9 são escritos 9 números de 1 só algarismo.

. de 10 até 99 são escritos (99-10+1)= 90 números de 2 algarismos.

. de 100 até 999 são escritos (999-100+1)= 900 números de 3 algarismos.

. de 1000 até 9.999 são escritos são escritos (9.999-1000+1)= 9.000 números de 4 algarismos.

Continua-se assim indefinidamente.

Podemos calcular através deste raciocínio a quantidade de algarismos necessários para escrevermos números entre quaisquer intervalos.

Ex1: Quantos algarismos são necessários para escrevermos os números de 1 até 100?



Quando não for explicitado se os extremos estão ou não incluídos, vamos considerar que o 1 e o 100 fazem parte. Caso o 1 não fizesse parte teríamos que dizer “1 exclusive e 100 inclusive.”

SOLUÇÃO: de 1 a 9 utilizamos 9 números de 1 algarismos. Logo utilizamos 9 x 1=9 algarismos. De 10 a 99 utilizamos então (99-10+1)x2=180 algarismos. E para escrevermos o número 100 utilizamos 3 algarismos.

Logo para escrevermos de 1 a 100 utilizamos: 9+180+3=192 algarismos.
Ex2:Quantos algarismos são usados para escrevermos de 1 a 44?

SOLUÇÃO: de 1 a 9 escrevemos 9 algarismos. De 10 a 44 utilizamos (44-10+1)x2=70 algarismos. Logo de 1 a 44 usamos 9+70=79 algarismos.


Ex3: Quantos algarismos são usados para escrevermos os números de 5 até 135?

SOLUÇÃO: de 5 a 9 utilizamos (9-5+1)x1=5 algarismos. De 10 a 99 temos 180 algarismos e de 100 a 135 utilizamos (135-100+1)x3=108 algarismos. Logo de 5 a 135 utilizamos 5+180+108=293 algarismos.

Da mesma forma podemos pensar como responder a seguinte pergunta:
“ Escrevendo a sucessão natural dos números se separá-los 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2..., qual algarismo ocupa determinada ordem ou colocação?”
Vamos iniciar com os casos mais simples:
a) O 5º elemento é o algarismo 5. (basta contar!)

b) O 7º elemento é o algarismo 7.

c) O 13º elemento é o algarismo 1.(conte na sucessão acima e verifique!)
Podemos encontrar o 13º elemento com a seguinte conta:

- até o 9º elemento temos números de 1 só algarismo. Se procuramos o 13º algarismo, significa que após o 9 escrevemos mais (13-9)=4 algarismos. Como estes 4 algarismos serão agrupados de 2 em 2, escrevemos após o 9 (4÷2)=2 números: o 10 e o 11. Logo a conta que fazemos é 9+2=11, sendo o 1 das unidades do 11 o 13º algarismo.


Vejamos alguns exemplos:
EX1: Para calcularmos o 35º elemento, procedemos da seguinte forma:
9ºalgarismo 189º algarismo 2889ºalgarismo

| | |


12345.....9................................99........................................................999....

Verificamos assim que o 35º algarismo da sucessão deve pertencer a um número entre 10 e 99. Temos então que:


Até o 9, temos 9 algarismos. Logo após o 9 temos 35-9=26 algarismos. Estes 26 algarismos serão agrupados de 2 em 2 pois serão números de 2 algarismos. Teremos então 26 2=13 números escritos após o 9. Como 13 + 9=22, o 35º elemento será o 2 do número 22.
EX2: Para calcularmos o 1.173º elemento procedimento de forma semelhante, observando agora que o algarismo de pertencer a um número entre 100 e 999.
Até o número 99 escrevemos 189 algarismos. Após o 99 escrevemos 1.173-189=984 algarismos. Estes 984 algarismos serão agrupados de 3 em 3. Logo teremos 9843=328 números escritos após o 99. Escreveremos então até o número 99+328=427. Portanto o 1.173º algarismo da sucessão será o 7 do número de três algarismo 427.


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Escrevendo a sucessão natural: 12345678910111213141516171819........
a) Que algarismo ocupa o 27º lugar?
b) Que algarismo ocupa o 37º lugar?
c) Que algarismo ocupa o 635º lugar?
d) Que algarismo ocupa o 1.137º lugar?
RESPOSTAS
a)Após o 9, escrevemos 27-9=18 algarismos ou 9 números. Logo paramos no 9+9=18.
b)Após o 9, escrevemos 39-9=30 algarismos ou 15 números. Logo paramos no 9+15=24.
c)Após o 99 escrevemos 635-189=446 algarismos ou 4463=148 números e resto 2. Este resto indica que escrevemos até 99+148=247 e 24_ do 248. Logo o 635º é 4.
d)Após o 99 escrevemos 1.137-189=948 algarismos ou 316 números. Logo paramos no 316+99=415. Logo o 1.137º algarismo é o 5.
QUANTIDADE DE MÚLTIPLOS ENTRE DETERMINADOS VALORES
Observe a sucessão: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,...
Estão sublinhados os múltiplos de 3. Se contarmos os múltiplos de 3 a partir do 1 ou a partir do 3, veremos que o primeiro múltiplo será o 3. Se procurarmos até o 22 veremos que o último será o 21. Então a partir de agora só nos preocuparemos em cada sucessão com o primeiro e com o último múltiplo pertencente a esta sucessão.

EX1: Quantos múltiplos de 3 há de 2 até 18?



Solução: Como o primeiro dos M(3) é o 3 e o último dos M(3) é o 18, temos:
18 - 3=15 números. Destes temos como múltiplos de 3 a quantidade 153+1=5+1=6. Confira!!! A soma com 1 é necessária para incluirmos o 1º múltiplo.

EX2: Quantos múltiplos de 3 há de 1 até 22?


Solução: 1º dos M(3)=3 e o último dos M(3)=21. Logo temos (21-3)3+1=6+1=7.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


1) Quantos números há de 3 a 74?

2) Quantos algarismos há de 3 a 74?

3) Quantos números há de 23 a 734?

4) Quantos M(4) há de 23 a 734?

5) Quantos M(5) há de 23 a 734?


SOLUÇÕES
1) De 3 a 74, temos 74-3+1=72 números.
2) De 3 a 74 temos: 3 a 9 há (9-3+1)x1= 7 algarismos

10 a 99 há (74-10+1)x2= 130 algarismos.

Logo de 3 a 74 há 7+130=137 algarismos.
3) De 23 a 734 temos 734-23+1= 711+1=712 números.
4) 1º dos M(4) é 24. Último dos M(4) é 732. Logo (732 - 24)4 +1=178 é a quantidade dos múltiplos de 4 de 23 a 734.
5) 1º dos M(5) é 25. Último dos M(5) é 730. Logo (730 - 25)5+1=141+1=142 é a quantidade dos múltiplos de 5.
APLICAÇÃO CONTEXTUALIZADA
Zorobabel e Cleoneida assistiam a propagandas políticas sobre eleições no município de Duque de Caxias. Um candidato a vereador dizia:

"Meu povo! Estou muito feliz em representar Duque de Caxias nas eleições. Afinal, temos aproximadamente 20 mil habitantes a mais que Nilópolis e nem por isso somos menos desenvolvidos. Pretendo criar 100 000 empregos até 2006 e isso é o mesmo que colocar um terço da população no mercado de trabalho. Conto com vocês!"

- Mais um esperto. E fala bem! - disse Zorobabel

- É. Mas precisa estudar mais Matemática.

Passou um tempo e apareceu um morador que apoiava o candidato. Seu nome era Alcides Mancha. Ele dizia:

Moro aqui desde 1973. Vi esse Município crescer. E nesses 33 anos de residência, nunca vi candidato mais competente! O Rio de Janeiro, com o quíntuplo de moradores, é muito violento e não podemos deixar isso chegar até nós!”.

- Nossa, que desesperado!

- E outro precisando estudar Matemática.

- Pois é. Eles falam tão bonito que se nos distrairmos, nem vemos as bobagens que dizem.

- Lá vem outra!

"Meu nome é Érica Loteira. Moro aqui há 13 anos. Vivia em Piraí até 1996 e não vi progresso nenhum. Hoje, com 127 789 habitantes a menos que Nilópolis, ela continua basicamente com fazendas. Precisamos salvar Duque de Caxias!"

- Piraí não é onde tem a Fazenda Ponte Alta?

- Isso. Iremos lá breve. Ver coisas sobre o Ciclo do Café.

- Mas, ela também poderia ir às aulas de Matemática, né?

- É. Mas se salvou numa parte.

A TV mostrou o quadro de habitantes de alguns Municípios até julho de 2004.




Angra dos Reis

Cabo Frio

Duque de Caxias

Rio de Janeiro

Nilópolis

Piraí

136.525

153.735

830.679

6.051.399

151.465

23.676




  • Zorobabel e Cleoneida reparavam muito nas informações matemáticas do candidato e dos moradores. Houve discordância em algumas. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) em cada frase das pessoas e, caso encontre erro justifique na linha abaixo.




  1. Candidato

( ) Afinal, temos aproximadamente 20 mil habitantes a mais que Nilópolis e nem por isso somos menos desenvolvidos.


____________________________________________________________________________
( ) Pretendo criar 100 000 empregos até 2006 e isso é o mesmo que colocar um terço da população no mercado de trabalho.
_____________________________________________________________________________________


  1. Alcides Mancha

( ) Moro aqui desde 1973. Vi esse Município crescer. E nesses 33 anos de residência, nunca vi candidato mais competente!


____________________________________________________________________________
( ) O Rio de Janeiro, com o quíntuplo de moradores, é muito violento e não podemos deixar isso chegar até nós!
____________________________________________________________________________


  1. Érica Loteira

( ) Moro aqui há 13 anos. Vivia em Piraí até 1996 e não vi progresso nenhum.


____________________________________________________________________________
( ) Hoje, com 127 789 habitantes a menos que Nilópolis, ela continua basicamente com fazendas.

____________________________________________________________________________
Zorobabel estava impressionado com a falta de cultura matemática das pessoas. Como poderiam criar leis se nem conheciam coisas básicas. Enquanto pensava no assunto propôs a Cleoneida que comprassem um pizza. Ela veio rapidinho e logo decidiram que quantidade comeriam. Para testar Zorobabel, Cleoneida disse:

- Como 2/5 e você come o que restar.

- Não. Eu como 2/7, você 1/5 e guardamos o que sobrar para depois do horário eleitoral.

- Concordo.

O preço da pizza foi de R$ 16,30. Zorobabel pagou com uma nota de R$20,00. O entregador falou:

- Só tenho nota de R$5,00.

- Ah. Então espera um instante.

Foi ao quarto e deu uma quantia ao entragador e recebeu cinco reais.




  • Cleoneida propôs primeiramente uma divisão da pizza.




  1. Em quantas partes seria dividida a pizza? _______________

  2. Que fração seria comida por ela? _______________ Qual o decimal correspondente? ______________________

  3. Que fração seria comida por Zorobabel? ____________ Qual o decimal correspondente? ____________________

  4. Quem comeria mais pizza? _____________________ Que percentual da pizza essa pessoa comeria? __________




  • O acordo entre Zorobabel e Cleoneida fez com que a pizza fosse dividida de uma forma diferente.




  1. Para que Zorobabel coma 2/7 e Cleoneida, 1/5, quantas partes iguais a pizza teria? ___________ Justifique. ____________________________________________________________________________________




  1. Que fração da pizza foi comida pelos dois? _______________ Qual o decimal correspondente? _____________

  2. Que fração da pizza ficou para depois do horário eleitoral? _________ Qual o decimal correspondente? ________




  • Zorobabel pagou sozinho a pizza porque é um cavalheiro.




  1. Qual teria sido o troco normal utilizando a nota de R$20,00? _________________

  2. Para receber R$5,00 disponível, que quantia Zorobabel deu entregador? _______________________




  • P
    inte e escreva as legendas de acordo com o número de habitantes mostrados na tabela.

  • Dividindo cada número da tabela por 10, como ficaria a representação decimal?




Angra dos Reis

Cabo Frio

Duque de Caxias

Rio de Janeiro

Nilópolis

Piraí






















  • Dividindo cada número da tabela por 100, como ficaria a representação decimal?




Angra dos Reis

Cabo Frio

Duque de Caxias

Rio de Janeiro

Nilópolis

Piraí






















  • Dividindo cada número da tabela por 1000, como ficaria a representação decimal?




Angra dos Reis

Cabo Frio

Duque de Caxias

Rio de Janeiro

Nilópolis

Piraí



















II) NÚMEROS RACIONAIS: (NA FORMA FRACIONÁRIA E DECIMAL): SIGNIFICADO, EQUIVALÊNCIA, COMPARAÇÃO, ORDENAÇÃO, REPRESENTAÇÃO E LOCALIZAÇÃO NA RETA NUMÉRICA)
EXERCÍCIOS
1) Observe as diversas divisões em partes iguais. Cada linha tem uma quantidade de partes pintadas. Coloque os valores nos espaços vazios.


30




15



















12

12

10













10

6

6

6













6

6

6

a) Que número, em cada linha, foi dividido em partes iguais? _____________________


b) Quantas partes foram pintadas na 1ª linha? _______ Que fração representa? _______
Escreva essa fração por extenso: _________________________________________
c) Quantas partes foram pintadas na 2ª linha? ________ Que fração representa? ______
Escreva essa fração por extenso: _________________________________________
d) Complete com os valores.


  • um meio de sessenta é _______




  • um quarto de sessenta é _____




  • três quartos de sessenta é _____




  • dois quintos de sessenta é _____




  • quatro sextos de sessenta é ______




  • dois sextos de sessenta é ______




  • oito décimos de sessenta é ______




  • dois décimos de sessenta é ______

h) Escreva na linha todos os divisores de 60.


______________________________________________________________________
2) Se dividirmos uma torta em cinco pedaços iguais e comermos três pedaços, teremos:

















comido comido comido sobrando sobrando
a) Que fração da torta foi comida? ________________

b) Que fração da torta não foi comida? _____________
3) Numa escola com 200 alunos, são meninas. Cada parte se chama quinto.
















Menina Menina Menina Menino Menino





  1. Quantas meninas há ?_________




  1. Quantos meninos há?_________

  2. de 200 = _______

  3. de 200 = _______

4) José comprou um bolo de milho e dividiu-o em 8 pedaços iguais. Ele comeu com seu irmão os pedaços indicados no desenho e guardou o restante.


























José José José irmão irmão
a) Quantos pedaços do bolo José comeu? _____ Represente essa fração comida: ______
b) Quantos pedaços seu irmão comeu?_____ Represente essa fração comida: _______
c) Que fração representa os pedaços comidos por José e seu irmão? __________
d) Que fração representa o bolo guardado? ___________
e) Que fração representa o bolo inteiro? ____________

FRAÇÃO COMO RAZÃO


A representação fracionária indica, muitas vezes, a informação de uma pesquisa.
EXEMPLO. Uma pesquisa perguntou: “Você já sofreu algum tipo de violência?”
SIM – 39 pessoas NÃO – 50 pessoas NÃO RESPONDERAM – 15 pessoas
De acordo com as respostas, concluímos:


  • Foram entrevistadas 39 + 50 + 15 = 104 pessoas.

  • (trinta e nove, cento e quatro avos) dos entrevistados responderam SIM.




  • (cinqüenta, cento e quatro avos) dos entrevistados responderam NÃO.




  • (quinze, cento e quatro avos) dos entrevistados não responderam.




  • + = (oitenta e nove, cento e quatro avos) dos entrevistados deram

algum tipo de resposta.


Há outra forma de apresentar o resultado da pesquisa acima. É muito utilizada em jornais e TV.


  • trinta e nove entre cento e quatro pessoas responderam SIM.

  • cinqüenta entre cento e quatro pessoas responderam NÃO.

  • . quinze entre cento e quatro pessoas não responderam à pesquisa.


OBSERVAÇÃO: Esse resultado, geralmente, é apresentado com o gráfico de setores.

S

N

N.R.

EXERCÍCIOS
1) Numa fazenda há 100 aves, sendo 15 patos, 32 galinhas e os restantes, gansos.
a) Qual o número de gansos? ___________________
b) Que fração do total de aves os patos representam? _________________
c) Que fração do total de aves as galinhas representam? _______________
d) Que fração representa o número de aves que não são gansos? ____________
e) Que fração representa o número de aves que não são patos? _____________
f) Que fração representa o número de aves que não são galinhas? ____________

2) Numa fábrica há 100 homens e 87 mulheres.


a) Qual o total de trabalhadores? _____________
b) Que fração do total de trabalhadores as mulheres representam? ____________
c) Que fração do total de trabalhadores os homens representam? ____________

3) Uma pesquisa com os telespectadores de um cinema sobre preferências, onde cada pessoa só escolheu uma opção, mostrou:





  • suspense – 15 votos ação – 22 votos




  • romance – 50 votos comédia – 28 votos




  • terror – 12 votos drama – 23 votos

a) Quantas pessoas foram entrevistadas? ________________

b) Que fração do total de entrevistados escolheu suspense? __________
c) Que fração do total de entrevistados escolheu terror? ____________
d) Que fração do total de entrevistados escolheu ação? ____________
e) Que fração do total de entrevistados escolheu comédia? ____________
f) Que fração do total de entrevistados escolheu romance? ____________


  1. Que fração representa o total de entrevistados? ____________

4) Em cada linha, marque as figuras que podem representar a fração indicada.









1

2

( ) ( ) ( )



  • Para cada situação abaixo, faça a representação gráfica colocando as quantidades dentro das partes.

1) Josué dividiu suas 35 moedas em 7 partes iguais. Cada parte se chama sétimo.




























  1. de 35 = ________

  2. de 35 = ________

  3. de 35 = ________

  4. de 35 = ________

  5. de 35 = ________

2) Uma herança de R$1.650,00 foi divida igualmente entre 3 filhos. A parte de cada filho se chama terço.















  1. da herança vale _________________

  2. da herança vale _________________

  3. da herança vale _________________

3) Edir dividiu 32 frutas, igualmente, em 4 cestas. Veja.




8

8

8

8

De acordo com a representação mostrada acima, calcule:



  1. de 32 = ___________

  2. de 32 = ___________

  3. de 32 = ___________

  4. de 32 = ___________

Resolva os problemas abaixo.




  1. Um time de futebol arrumou os seus 42 jogadores em 6 grupos iguais para treinar. Jogaram de camisa branca, dois sextos. Jogaram de camisas pretas, três sextos. O restante não usou camisa.





















- Quantos jogadores usaram camisas brancas?_______

- Quantos jogadores usaram camisas pretas?_______

- Que fração dos jogadores não usou camisa?________

- Quantos jogadores não usaram camisas?________


  1. Numa central de correios do Rio de Janeiro, das cartas vão para a Bahia, vão para Minas Gerais e as restantes ficam no Rio.

































- Que fração das cartas desta central ficam no Rio? __________________

- Que fração representa as cartas que não ficam no RJ?_____________

- Mostre a operação matemática que calcula a fração acima: _________________




  1. Uma caixa tinha 45 bombons. João comeu dos bombons. Pedro comeu dos bombons da mesma caixa.































- Que fração representa a quantidade comida pelos dois?__________

- Mostre a operação matemática que calcula a fração acima: __________

- Que fração representa a quantidade de bombons não comida?_________

- Mostre a operação matemática que calcula a fração acima: __________


  1. Um comerciante comprou 135 caixas com 1 dúzia de ovos em cada caixa. No caminho das caixas caíram e os ovos quebraram.













quebraram quebraram não quebraram
- Quantas caixas de ovos quebraram?__________

- Quantos ovos quebraram? ____________

- Que fração das caixas não caíram? ____________

Vamos trabalhar agora com a parte representada e descobrir qual é a quantidade total do inteiro. Ainda serão usadas as representações gráficas.


e) Dois terços da quantidade de moedas de Mauro estão representadas abaixo:




7

7

7

- Que quantidade de moedas representa?_________

- Que quantidade de moedas representam?_________

- Qual o total de moedas de Mauro?___________


f) Quatro sextos das canetas de Celso são 12 canetas.


3

3

3

3

3

3

- Qual a quantidade de do total das canetas?__________

- Qual a quantidade de do total das canetas?__________

- Qual a quantidade de do total das canetas?__________

- Qual a quantidade de do total das canetas?__________

- Qual o total de canetas?_________________


Você colocará agora, as quantidades em cada parte de acordo com o enunciado da situação. Responda com atenção.
g) Três sétimos das figurinhas de Paulo valem 15.






















- Que quantidade há em cada ?____________

- Que quantidade há em ?____________

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