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PROGRAMA DE CURSO
1.- Datos de Identificación:

DENOMINACIÓN DEL CURSO O FASE: Cálculo Integral

CÓDIGO: EMAT021 U.C: 03

NO DE HORAS: Presénciales: 16 A Distancia:64 Total: 80

COMPONENTE: Formación Especializada

ESPECIALIDAD: Matemática

PRELACIÓN: EMAT003 Cálculo Diferencial

AREA O NIVEL: Integración

TIPO DE CURSO: Homologado - Obligatorio

ALTERNATIVA DE ADMINISTRACIÓN: Presencial ( ) A distancia ( ) Mixto ( x )

CARÁCTER O NATURALEZA DEL CURSO: Teórico - Práctico

AUTOR (A): Dr. Hugo Polanco

ASESORÍA EN DISEÑO: Unidad de Tecnología Educativa

FECHA DE ELABORACIÓN: Julio 2007

APROBADO POR LA UNIDAD DE CURRÍCULO




SELLO

1. FUNDAMENTACION

El uso de las matemáticas en la búsqueda y aplicación del conocimiento humano resulta un tema indiscutible. La necesidad de los conocimientos de las matemáticas no siempre se han generado de manera independiente, la mayoría de las veces surge como una herramienta fundamental en el desarrollo de las aplicaciones. El cálculo diferencial e Integral surge como una herramienta de la mecánica clásica desarrollada fundamentalmente por Newton. Incluso una vez marcadas las limitaciones de la mecánica clásica y el surgimiento de áreas como la relatividad general, en la que surgirían operadores que formarían parte análoga con la mecánica clásica y en la que a su vez se crearían análogos con el cálculo desarrollado por Newton y Leibnitz, tal es el caso de operadores como el operador de Riemmann y las segundad derivadas utilizadas en la mecánica clásica.

  La aplicación y el uso de cálculo dentro de las propias matemáticas no solo se ha concretado en pocas aplicaciones sino que han dado formalidad a un sin número de áreas, tales como la sociología, la antropología, la física, la psicología y las ciencias biológicas en las que las aplicaciones ha versado entre el crecimiento de poblaciones hasta ser elementos clave en la interpretación de fenómenos.

  Es por ello que el presente curso pretende ser una herramienta clave en la incursión de las aplicaciones básicas en algunas áreas de las ciencias, como lo es la química, la física, la farmacología, entre otras incluyendo las propias matemáticas.



DE CÓMO SE GESTO Y VINO AL MUNDO EL CÁLCULO INFINITESIMAL

(Documento extraído de la Coordinación de Innovación Educativa, Universidad de Michoacana de San Nicolás de Hidalgo – México - Copyright © 2001-2008) 

  Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que  Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado - en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió escencialmente en el siglo XVII. Comenzaremos por tanto desde el principio.

Como ya es habitual comenzaremos por un filósofo. En este caso Aristóteles. Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algun modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue nada más y nada menos que Aristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuancias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fué Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo  de Aristotéles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

No obstante, fue obviamente Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente -o quiza por suerte, quién sabe- su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 como ya hemos tenido ocasión de contar en la sección dedicada a los griegos-. La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba un método semejante.  Como primer libro de esta sección colocaremos, por tanto, la Opera Omnia de Arquímedes que ya vimos antes. Se trata de la edición de 1911 debida a Heiberg. Esta abierta justo en la página donde Arquímedes describe el método de sus infintos segmentos para cuadrar la parábola usando una palanca y moviendo convenientemente los correspondientes segmentos hasta que ambas figuras, triángulo y parábola quedasen equilibradas.

Como ya mencionamos una razón importante de la aparición del cáclulo fue la aparición de una adecuada representación para los números. Se trata de la representación decimal -cuyo primer registro escrito en el mundo occidental mostramos en la sección dedicada a las matemáticas en la península ibérica-. Junto a Viète, uno de los principales impulsores de la idea fue Simon Stevin del cual admiramos Les oubres mathematiques (Leiden, 1634) especialmente abierto en la primera página de La Disme donde Stevin desarrolla si aritmética decimal.  También Stevin uso distintos argumentos infinitesimales para calcular centros de gravedad, pero eso lo veremos más adelante. No obstante fue la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes -ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas, por ejemplo admírese la preciosa edición de las obras de Arquímedes debida a Wallis (arriba a la izquierda) justamente abierta éste da su famosa estimación de Pi usando polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circuneferencia- que desembocó en el nacimiento del cálculo. Aunque también ayudó un cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos y tecnólogicos- y fué el interés de los matemáticos por descubrir más que por dar pruebas rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristótelicas de las que ya hemos hablado. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat.

La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos y específicos para cada curva  procedimientos geométricos.

De los dos inventores de la geometría analítica, uno es más conocido como filósofo: Renato Descartes. Presentó su geometría junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. El otro inventor de la geometría analítica, Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado a las matemáticas: probablemente el mejor aficionado que ha visto la historia, sin duda superior a muchos profesionales. Intervino de hecho en todas las ramas de las matemáticas que se crearon en el siglo XVII, y no fueron pocas. Fermat no publicó, sin embargo, casi nada: sus obras aparecieron años después de su muerte editadas por su hijo. Mostraremos aquí un ejemplar de la primera edición (Leiden, 1637) del Discours de la Methode... la obra más célebre de Descartes y una de las obras filosóficas más famosas jamás escrita que como ya dijimos antes servía de prólogo a tres obras de este autor -entre las que se incluía su Geómetrie-. A la derecha podemos apreciar una de las tantas ediciones que más tarde se realizaran de la Geometría ya separada del resto de sus originales compañeras.

Otra razón no menos importante es que, como ya mencionamos, en el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo  a los infinitos que los griegos les habían tenido: Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante se debe a Cavalieri -discípulo de Galileo-. Cavalieri considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mécanico -y desconocido en aquella época- de Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no consigió ya que el infinito en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-.  Las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rapidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal Wallis y Roberval. Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius al que ya encontramos en el apartado de astronomía reformando el calendario. Sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum de cuya primera edición de 1647 podemos admirar un ejemplar (izquierda). En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una de sus aportaciones más valisosas consistió en que encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos. Este resultado es el que justamente podemos admirar en la foto de su obra ya mencionada.

Nuestro próximo personaje es John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes que además escribió una Gramática inglesa -como ya antes ya había hecho Nebrija con la castellana-. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores númericos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-. Es curiosa la opinión que él mismo profesaba de sus métodos: «Este procedimeinto es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido métodos de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce máuseas al lector. Cualquier ducho en la materia puede realizar la prueba», escribió en su Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la inducción incompleta  y su intuición llegó a calcular el área de todas las parabolas generalizadas xrcon r racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi



Pi = 2·4·4·6·6·8·8····

 4      1·3·3·5·5·7·7····

Presentamos aquí una foto de la portada del libro De Algebra tractatus correspondiente a su primera edición latina de 1693 contenido en su Operum mathematicorum.  El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:

Método de Exhausión (Arquímedes)

Método de los indivisibles (Cavalieri)

Aritmética de los infinitos (Wallis)

Métodos de las series infinitas (Newton)

Dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas consituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.  Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. En efecto, como ya comentamos, la geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fue el logaritmo. Surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos -tenían que realizar una ingente cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces- fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgi


terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área -lo hizo Saint-Clement- y su tangente, etc. Mostramos a la derecha un ejemplar de la segunda edición de la obra de Napier Logaritmorum canonis descriptio ... de 1619 que incluía una explicación detallada de como se ha de elaborar una tabla de logaritmos no incluida en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos paar calcular tangentes.  Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor de un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dió el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII y el mejor matemático aficionado de la historia -y no precisamente por su "larga" demostración que no entraba en el estrecho margen de la obra de Diofanto y que le ha hecho famoso fuera del círculo estrictamente matemático- por sus contribuciones importantes en casi todas las ramas de las matemáticas que emergieron en ese siglo. Mostramos aquí una foto de la portada de su Varia opera matemathica publicada póstumamente por su hijo en 1679.

Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. El propio Descartes lo intentó sin éxito siendo Leibniz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento escencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda justicia y razón, llamamos Teorema fundamental del cálculo.

Pero pasemos ya al Cáculo. Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablemente el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marcho de su cátedra en Cambridge, cediéndosela a Newton para continuar sus estudios teológicos-.   En la lección X de su obra Letiones opticae & geometricae Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema fundamental del cálculo. Podemos admirar el comienzo de esa lección así como la figura 109 directamente relacionada con el teorema que Barrow explica como que el valor de la pendiente de la tangente en F a VIFI se corresponde con el segmento DE, o sea, si trazamos la tangente a la curva cuadratriz VIFI en un punto, se obtiene como pendiente para esta recta tangente el valor de la curva inicial en ese punto.

En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación-y mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo

El primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia a publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra  sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711 -contémplese una foto de la portada de su primera edición donde además admiramos el cálculo del área bajo la parábola x m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas-. Nótese además la aparición de las famosas Expistola prior y posterior, sendas cartas dirigidas a Leibniz.  En ambas Newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema del binomio-, en la primera, e incomprensiblemente, en la segunda, su método de cálculo. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 despues de escrita!. Se trata de De methodis serierum et fluxionum.  En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencinado Teorema fundamenal del cálculo-. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores. En la figura de la izquierda podemos admirar una página de dicho libro, abierto por la página donde Newton "destroza" la concoide de Nicómedes con su nuevo método de cálculo. Una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente es ¿por qué Newton tardó tanto en publicar sus resultados? A parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus contemporáneos, Newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. Este temor también está patente en su obra cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje geométrico más riguroso -y obscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única mención del mismo en el lema II de la sección II del libro II: la regla para derivar productos-.

Leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos científicos-. Durante una estancia en París -ya que era un afamado diplomático- Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes.  Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". En este artículo de 6 páginas -e incomprensible como el mismo luego reconoce- Leibniz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su cálculo diferencial -«un enigma más que una explicación» dijeron de él los hermanos Bernoulli-. También el él Leibniz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos -en en primero introduce la notación "dx" para el diferencial-. Encima a la derecha podemos admirar este trabajo aunque por razones tipográficas en vez de la S alargada para la integral aparece una especie de f.

Como colofón a estas páginas y a nuestra Exposición virtual dedicaremos unas líneas a tratar la mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo. Las suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto básandose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibniz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del Análisis no estándard de Abrahan Robinson. La polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el mismo Newton le había indicado que existían en sus Epistolae-  además que en Holanda -como le aseguró Wallis- se atribuía el cálculo a Leibniz, eso sin contar que los discípulos de Leibniz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits que redactó el Marquéz de L'Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli y de cuya primera edición podemos admirar una foto -nótese que no aparece el nombre de su autor por ningún sitio-.

La respuesta de los segidores de Newton no se hace esperar. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas de Wallis -que ya vimos antes- la correspondencia cursada con Leibniz las Epistolas prior y posterior donde este pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luego Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibniz de haber plagiado a Newton y como no, en su ya mencionada De quadratura curvarum, Newton alega «En una carta escrita a Sr. Leibniz en 1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilineas [...] Hace años yo presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión ». La respuesta de Leibniz no se hizo esperar.


En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: Leibniz- en 1705 en las Actas se dice «Para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser concidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibniz en estas Actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L'Hospital. En vez de las diferencias leibnizianas, el Dr. Newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones» donde queda patente la alusión a Leibniz y sus discípulos y a Newton sin que esté claro si éste es uno de aquellos. Esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las Philosophical Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a Leibniz de plagio. Tras la protesta de Leibniz la Royal Society nombra una comisión -que resultó estar plagada de amigos de Newton- que luego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibniz -aunque tampoco rectificó las duras palabras de Keill-. Esta absurda guerra duró hasta principios del siglo XIX cuando finalmente los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación leibniziana -que hasta el momento habían ignorado-, con gran perjuicio para los matemáticos ingleses ya que la matemática inglesa quedó aislada del resto de la del continente.

Para cerrar  nuestra exposición vamos a relatar, a modo de ejemplo de la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por Newton y Leibniz: el problema de la braquistocrona. El problema consistía en determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal. Este problema ya interesó en su día a Galileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para resolverlo se precisaba del cálculo-. La historia es como sigue. En el número de junio de 1696 de las Actas Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del mundo -este reto lo podemos ver en la foto a la izquierda de dicho artículo de Bernoulli-. En realidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año -el plazo original fue de seis meses pero a petición de Liebniz se amplió para que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde- aparecieron cinco soluciones: una de Leibniz,  una del mismo Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo, una del conde Walter de Tschirnhaus, del Marquéz de L'Hospital y una anónima. Todas, excepto la de L'Hospital daban con la solución: la cicloide. ¿Quién era ese autor anónimo que escogió las Philosophical Transactions para publicar su genial solución que sólo contenía 67 palabras? -la cual podemos admirar en la foto de la derecha-. Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernulli exclamara «tanquam ex ungue leonen», algo así como «¡reconozco al león por sus garras!» pues claro está que era Newton. Años más tarde se aclaró toda la historia. Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a Newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. Además, en una carta de Leibniz a Juan Bernulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo -Newton entre ellos claro está-. Incluso años después, ya en plena polémica, Leibniz en una reseña a la solución del problema afirmaba el problema no podía ser resuelto sin la ayuda de su recién inventado método que sólo aquellos que habían profundizado lo suficiente en su estudio podían resolverlo: estos eran los Bernoulli, L'Hospital y Newton. Este  juego de palabras de Leibniz donde se podía deducir que Newton era un discípulo de suyo fue el otro gran detonante de la guerra que ya mencionamos antes de Duillier.

Como no podía ser de otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entonces ya no "hacía ciencia" sino que se trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa. Según cuenta la sobrina de Newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya había pensado en ese problema unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la memoria ese día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya había resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dió Augusto de Morgan «Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho».

El curso esta conformado por cinco unidades.



Unidad I: Diferenciales

Unidad II: Integrales Indefinidas y Métodos de Integración

Unidad III: Integral Definida

Unidad IV: Aplicaciones de La Integral.

Unidad V: Sucesiones y Series

En atención a los propósitos del currículo, la Universidad Pedagógica Experimental Libertador orienta su acción hacia la formación de profesionales de la docencia:




  • Generadores de acciones que propicien la innovación y el desarrollo educacional, capaces de participar consciente y creativamente en la elaboración y ejecución de proyectos pedagógicos que respondan a las necesidades de formación de la población en diferentes ámbitos y enfrenten la realidad socio-histórica y cultural presente y futura.




  • Conscientes de la misión y compromiso socializador y cultural de la escuela, de la insurgencia de nuevos escenarios educativos, pedagógicos y saberes, los cuales implican el desarrollo de valores y prácticas diversas.

  • Identificados con el proyecto educativo de la Institución a la cual pertenecen y abiertos a la apropiación de formas ohservacionales y críticas de la realidad como totalidad compleja, así como a la incorporación de nuevos enfoques, tecnologías y posturas en el campo pedagógico.




  • Conscientes de las implicaciones éticas del proceso educacional, desarrollo bio-psico-social del estudiante, de las dimensiones de los contenidos y los objetivos pedagógicos, que permitan el desarrollo de estrategias de trabajo y modalidades de evaluación pertinentes a la situación educativa en el aula y fuera de ella.




  • Preparados para interpretar y comprender los procesos de enseñanza y de aprendizaje y reconstruir estilos formativos orientarlos hacia la articulación reflexiva del conocimiento universal con las diversidades de nuestro contexto socio-histórico y cultural.




  • Con actitudes favorables y reflexivas en cuanto al compromiso nacional y responsabilidad hacia el desarrollo ético, político y moral de la docencia, el arraigo, liderazgo, consistencia conceptual de su ejercicio y la comprensión del hecho educativo en su multidimensional.




  • Con dominio de las metodologías didácticas que permitan incorporar en las relaciones del hecho educativo, la investigación independiente, los seminarios y trabajos de campo, la simulación de experiencias y los juegos de negociación, los proyectos en pequeños y grupos e individuales, la autoadquisición de la información, las tutorías, los contratos de aprendizaje y otras estrategias conducentes al acto de aprender con calidad.




  • Poseedores de actitudes positivas hacia la indagación permanente y la investigación educacional conscientes de la necesidad de conjugar la labor educativa, la realidad del país y las necesidades locales, regionales y nacionales del presente y del futuro.




  • Comprometidos a consolidar el concepto de nación a través de valores enraizados en la identidad nacional.




  • Comprometidos con la construcción vivencial de su pensamiento para generar actividades creativas que le permitan elaborar teoría a partir de su propia práctica sobre bases axiológicas, epistemológicas y ontológicas derivadas de su quehacer educativo.



3. OBJETIVOS
Objetivo General:
Adquirir herramientas teóricas prácticas relacionadas con el cálculo integral de funciones reales de una variable real, que le permita fortalecer su capacidad para razonar matemáticamente, aplicar conocimientos y resolver problemas de esta y otras disciplinas.


Objetivos Específicos:

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