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Orientación puntos en el plano : Abre la hoja barcos xls


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ORIENTACIÓN

PUNTOS EN EL PLANO

: Abre la hoja barcos.xls y juega dos partidas procurando no hacer agua ninguna vez.

: Abre la hoja puntos.xls e intenta reproducir lo mejor posible las figuras que se te proponen.

MOVIÉNDONOS EN EL PLANO

Antes de entrar en materia vamos a jugar un poco con unos zorros muy simpáticos.

" Abre la página y entra en

http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/index.htm

Ve abriendo los apartados Traslación, Simetría axial, Giro, Simetría central y Homotecia.

Juega con los elementos que se pueden mover.

! Contesta en tu cuaderno las preguntas que se te formulan en cada apartado.

EL CALIDOSCOPIO

Un calidoscopio es un tubo con dos o tres espejos dentro y unos cristalillos cuyas imágenes se multiplican simétricamente cuando giramos el tubo.



: Abre la hoja calidoscopio.xls y juega con los botones para generar figuras nuevas. La regleta vertical mueve la figura.

! Todas las figuras que aparecen tienen el mismo número de ejes de simetría ¿Cuántos? ¿Cuáles?

EN EL INSTI (actividad para realizar en grupos de 3 personas)

Este es el plano del instituto. Es un mapa de orientación del instituto que se encuentra incompleto. Lo tenéis que completar siguiendo las siguientes normas que aparene en la página siguiente:



Utilizad para el dibujado lápices o rotuladores de colores.

1. Calculad la escala y escribidla en el recuadro correspondiente. Para ello deberéis medir una distancia real y su correspondiente del mapa. Cuanto mayor sea la distancia elegida, menor será el error que cometáis.

2. Rellenad los espacios en blanco de la imagen de la derecha.

3. Poned en el recuadro LEYENDA cada uno de los elementos que se encuentran en esta leyenda, asociados a un símbolo o color determinado. Por ejemplo, las aulas y locales las debéis pintar de un color, las zonas de cultivo otro, etc. El ascensor ya está dibujado con un símbolo.

En el mapa ya están dibujados los bancos con un símbolo. Éste lo tenéis que poner en la leyenda al igual que el resto de los elementos.

4. Todos los elementos que estén en la leyenda y que se encuentren dentro del instituto los tenéis que dibujar, en el lugar exacto donde se encuentran y con la simbología que elijáis (papeleras, farolas, etc.)

5. Tenéis que dibujar una cuadrícula de 1 cm de ancho con centro en el que aparece en el mapa.

6. Escribid, según estos ejes, las coordenadas de la entrada a la biblioteca (parte izquierda), la puerta de dirección (parte derecha) y el olivo.

7. Calculad la mínima distancia para ir del departamento de Orientación a Secretaría.

8. Calculad lo que valdría embaldosar la biblioteca estimando, entre material y mano de obra, 24 euros el m2.

9. Lo mismo para enmoquetar el salón de actos a 33 euros el m2.

10. Lo mismo para el césped que bordea el olivo, a 43 euros el m2.

11. Y para una valla que bordee el césped del olivo, a 4,3 euros el metro.

Supongamos que debe haber un radiador por cada 43 m3.

12. Calcula el número de radiadores que debería haber en la sala de profesores y en la sala de reprografía.

13. ¿Cuántos radiadores hay en el Taller de Tecnología? ¿Cuántos debería haber?

14. Tenéis que dibujar el cercado que cierra el instituto.

15. Y, por fin, haced una estimación del área total del instituto, incluido los dos patios de recreo. Como es una aproximación, nos conformaremos con descomponerlo en rectángulos y triángulos.

Recuerda la fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo:



donde a, b, c son los lados y s la mitad de la suma de los tres lados



INCENDIO

Imagina que en el mapa que ves hay tres observatorios para detectar incendios: En Ráfales (R), en Valdeltormo (V) y en Lledó (L). El observador de R ve un incendio en V.

1. ¿Cómo nombraría la localización. Escribe dos formas.

¿Cómo nombraría F a L? ¿Y L a F?


¿Cómo nombraría L a V? ¿Y V a L?

Si añadimos una cuadrícula, la cosa parece más sencilla.

2. Intenta descifrar cómo se ha nombrado en la tabla Valdeltormo desde Ráfales y complétala siguiendo el modelo:





cartesianas

topográficas

militares

polares

RV

(1.5, 5.2)

E75ºN, 5,5

E83ºN, 5,5

5,575º

RL













VL













LV














: Abre el programa de geogebra planoMatsin.ggb. Intenta relacionar los números que aparecen en el margen izquierdo con los de la primera fila de la tabla anterior. Luego mueve los puntos con el ratón para comprobar si, más o menos, serías capaz de hacer otras localizaciones de otros pueblos.

 Sería muy interesante que, con ayuda de tu profe o profa, intentaras construir tú mismo/a un programilla parecido al anterior. Geogebra es un programa muy divertido y, al mismo tiempo interesante, con el que se pueden realizar dibujos elegantes sin tener gran dominio manual de los instrumentos de dibujo.

El nombre de coordenadas cartesianas se debe al matemático y filósofo francés Réné Descartes.

3. ¿Has tenido que utilizar los números negativos?

4. Investiga cuándo empezaron a utilizarse en occidente los números negativos.

5. ¿Son absolutamente necesarios para localizar puntos en el plano?

6. ¿Por qué crees que se divide la circunferencia en 360 partes y no en un número “más redondo”?

7. Investiga qué civilización utilizaba la base 60. (360 es 6 veces 60).

El lío de la notación que estamos utilizando es que para localizar V tenemos que decir dónde estamos. No es una localización absoluta. Pero esto la arreglamos añadiendo un punto, que llamaremos el origen de coordenadas.

8. Ahora ya puedes localizar de forma absoluta cualquier pueblo de la zona tomando como referencia el punto rojo y, naturalmente, teniendo la cuadrícula a la vista.










cartesianas

topográficas

polares

Valdeltomo










Cretas










Beceite










Ráfales










Fuentespalda










Valderrobres










Mazaleón










Peñaroya










Arens












:!Abre el programa de geogebra planoMat.ggb. Mueve los puntos y comprueba los resultados de tu tabla. El programa no está completo. Puedes completarlo para los cuadrantes tercero y cuarto. Debes tener en cuenta el signo de las coordenadas cartesianas y que en topografía no suelen utilizar ángulos mayores de 90º.

" Consigue un plano real en el que aparezca la escala para saber la escala del que aparece en el programa. Luego, calcula las distancias (en línea recta) del origen (Fórnoles) al resto de los pueblos.

Ahora vamos a ver cómo se puede cambiar de una nomenclatura a otra sin necesidad de saber los puntos concretos y poder tomar todas las medidas directas que queramos.

9. Por ejemplo, si P se llama en coordenadas cartesianas (3,4), ¿cómo se llamará en polares? La distancia directa al origen es muy fácil con el teorema de Pitágoras. Para averiguar el ángulo puedes aplicar, si sabes, trigonometría (la tangente va muy bien en estos casos). Pero si no has llegado aún a ese tema, puedes echar mano de una regla y un transportador de ángulos. Recordar el teorema de Thales tampoco te irá mal.

: Teorema de Thales en Thales.ggb.

Intenta completar la siguiente tabla:







cartesianas

topográficas

polares




cartesianas

topográficas

polares

P

(3,4)







v







560º

Q

(-4,4)







F







5300º

R

(-3,-3)







G







5135º

S

(-3,-5)







H




E60ºS, 2




T

(2,-2)







K




N45ºO, 3




U

(5,-3)







D




O30ºS, 4



10. Una vez echadas las cuentas comprueba tus resultados moviendo los puntos (no te salgas en cada cuadrante) en el programa de geogebra:

: CambiodeSistema.ggb.

 Elabora en Excel una hoja de cálculo que pase directamente de forma cartesiana a forma polar y viceversa. Comprueba los resultados de tu tabla.

Estos pares ordenados, ya sean escritos de forma cartesiana (binómica, se dice en matemáticas) o polar, tienen mucho que ver con las raíces cuadradas de números negativos. Pero, ¡si esos números no existen!, te dirás. Pues sí. Sí existen. Durante bastante tiempo los matemáticos los utilizaron veladamente, sin darles nombre. Al final se llamaron números complejos. Si uno controla un poco algunas operaciones con ellos puede moverse por el plano (giros, homotecias) de una manera sencillísima. Si quieres saber más sobre estos números visita esta página, sencilla pero completa. Puedes hacer los ejercicios que allí se proponen y comprobar los resultados en la misma página.

"http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Los_numeros_complejos_formas_representacion_operaciones/complejos_indice.htm

TOPÓGRAFOS DESDE EL AIRE

Volvamos al mapa del principio (a una parte).

Los topógrafos utilizan triángulos para medir distancias y ángulos. Los matemáticos le llaman a esto Trigonometría.

Si los triángulos con los que trabajamos son rectángulos, utilizando el teorema de Pitágoras la cosa marcha sobre ruedas.

Por ejemplo, el verde (trazo continuo) entre Calaceite, Fórnoles y Valderrobres podemos considerarlo rectángulo en V.

1. ¿Cuántos datos de ese triángulo necesitarías para conocer todos los demás (los tres lados y los tres ángulos)? A esto le llamamos resolver el triángulo.

2. ¿Qué datos necesitarías?

3. Si tenemos un triángulo rectángulo ABC (rectángulo en B), razona cómo lo resolverías sabiendo, en cada caso, los siguientes datos:

a=3, b=5 a=30, c=40 A=30º, c=7 C=50º, b=45 A=30º, C=60º

Si sabes algo de trigonometría, aplícala.

Si no, saca los bártulos de dibujar (regla, transportador), y juega con las escalas si las distancias son muy grandes. Aunque, si quieres iniciarte en esta rama tan útil de las matemáticas te recomiendo la hoja (sólo la parte que aparece en esta figura):

" http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trigono.htm

! Contesta en tu cuaderno a las preguntas que se hacen en cada una de las cuatro hojas y ya eres un iniciado en el tema.

Pero, imagina un triángulo no rectángulo, como el punteado del mapa. ¿Qué datos necesitarías para determinar el resto de los elementos?

Vamos con un problema más “cercano”.

LA FINCA DE MAURICIO

Dos de los lados de la finca de forma triangular miden 40 m y 15 m, respectivamente. En ese momento no puede medir el otro lado, pero sí el ángulo entre esos lados. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70º.



  1. Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos?

  2. ¿Cuánto valdría el terreno a 60 euros el metro cuadrado?

Con tus conocimientos matemáticos, y con los aperos de dibujo, describe algún procedimiento para resolver el problema.

1º. Sin saber nada de trigonometría. Haz un dibujo a escala y mide con la regla el lado incógnita.

2º. Sabiendo trigonometría básica (definición de las razones trigonométricas).

1. Divide el triángulo en dos triángulos rectángulos.

2. Halla y. Halla h.

3. Halla x directamente con el teorema de Pitágoras o

4. Halla el ángulo en B. Halla x.

5. Compara los resultados obtenidos por los dos procedimientos.

6. ¿Cuál te parece más exacto? ¿Por qué?

7. Calcula el área. Por la fórmula clásica. Y, por la fórmula de Herón.

8. Compara los resultados obtenidos por los dos procedimientos.

9. ¿Cuál te parece más exacto? ¿Por qué?

Fíjate: con este procedimiento, hemos utilizado la altura, h, pero no hemos tenido que medirla directamente, no la hemos tenido que trazar.

Imagina ahora que Mauricio no tiene ningún aparato para medir ángulos (es lo más normal).

10. ¿Qué otra medida debería tomar para resolver el problema?

11. ¿Cómo lo resolvería en ese caso?

Pista: El teorema de Pitágoras suele ser muy útil. Aunque si se sabe algo de trigonometría, podemos prescindir de los cuadrados “engorrosos”.

Sin embargo, a los matemáticos les gusta hacer las cosas lo más sencillas posible y disponen de una fórmula (que es todo un teorema) que permite resolver este problema directamente. Esta fórmula es una generalización del teorema de Pitágoras.

Siempre que el triángulo sea rectángulo, el área del cuadrado construido sobre el lado grande es la suma de las áreas de los otros dos.

[Para más información sobre el teorema de Pitágoras ve al contexto VOLANDO VOY]

Pero, contesta sin hacer el dibujo escribiendo alguno de estos símbolos =, <, >:

12. ¿Qué pasa si el ángulo A “se despatarra” (se hace oblicuo). R + S Q

13. ¿Qué pasa si el ángulo A “se pliega” (se hace agudo). R + S Q



: Compruébalo en Teorema del coseno.ggb moviendo el vértice C.

Pero, ¿habrá alguna relación numérica que relacione las áreas de los cuadrados con el valor del ángulo A?

14. Dibuja los triángulos de lados c=4, b=3, variando los ángulos Â, calculando en cada caso los valores de la tabla: (Tendrás que medir el lado a en cada caso para saber el valor de su cuadrado)

a2 c2+b2 cos  2·c·b·cos  c2+b2-2·c·b·cos Â

Â= 90º

Â= 135º


Â= 120º

Â= 45º


Â= 30º

15. Escribe la hipótesis de lo que puede ser (y es) un Teorema (el Teorema del coseno)

Para una demostración rigurosa de este teorema puedes consultar la página:

" http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Geometria/Resolucion_triangulos/Teocos.htm

Resuelve ahora el problema de la finca de Mauricio utilizando este teorema.

16. Compara todos los resultados que has obtenido en los distintos procedimientos y razona cuál de los tres te parece más exacto y cuál más sencillo.

EL CASTILLO INACCESIBLE

Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspondiente al vértice en el que está Sara es de 25º y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140º.

1. ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?

2. De nuevo podemos acercarnos a la solución de este problema dibujando a escala y midiendo. Hazlo.

Como antes, con básicos conocimientos de trigonometría, podemos buscar triángulos rectángulos para aplicar las razones trigonométricas. Intenta contestar sin mirar más abajo:

3. ¿Cuáles elegimos? Describe el plan y ejecútalo.

Tenemos:

Ahora sale un sistema, que es muy sencillo.

4. Resuélvelo.

5. ¿Cómo calculas ahora los valores de x, y? Hazlo.

6. Compara los resultados obtenidos por los dos procedimientos.

7. ¿Cuál te parece más exacto? ¿Por qué?

Como antes, aún podemos encontrar un atajo, una fórmula (que otra vez va a ser teorema) para resolver el caso sin construcciones accesorias.

: Abre la página

http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Resolucion_triangulos_casos/Resolucion_de_triangulos_casos.htm

Mueve los vértices, consigue (aproximadamente) los ángulos que aparecen en la tabla para completar con el programa los valores que te piden.







8. Escribe la hipótesis de lo que puede ser (y es) un Teorema (el Teorema de los senos)

Para una demostración rigurosa de este teorema puedes consultar la página:

" http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Geometria/Resolucion_triangulos/Teosen.htm

9. Resuelve ahora el problema del Castillo inaccesible utilizando este teorema.

10. Compara todos los resultados que has obtenido en los distintos procedimientos y razona cuál de los tres te parece más exacto y cuál más sencillo.

Combinando estos dos teoremas, pueden resolverse infinidad de problemas de los llamados de medidas indirectas. Por ejemplo, medir la altura de edificio sin subir a él, un túnel antes de hacerlo, la anchura de un lago sin mojarse, etc.

Aquí tienes algunos casos. Intenta resolverlos.








NÚMEROS ABSURDI
El primer uso conocido de los números negativos se debe a un matemático indio, Brahmagupta (nacido en 598) hacia 628, quien da las cuatro reglas para las operaciones con ellos.

En Occidente tardó en imponerse su uso y, cuando empezaron a utilizarse, se denominaban números absurdi.



Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß), matemático, astrónomo y físico alemán considerado uno de los mas grandes matemáticos de todos los tiempos, nació en Brunswick, Baja Sajonia el 30 de abril de 1777.

Fue él quien popularizó los números complejos.



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