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Middleman Stanley Ejemplo 12 4 1, pag 452


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Middleman Stanley 2.

Ejemplo 12 – 4 – 1, pag 452

Flujo a traves de un tubo frio.

Ver Figura.

El agua es alimentada desde un recipiente a un tubo capilar peque;o inmerso en un ba;o de hielo bien agitado. Encuentre TL para el sistema mostrado en la figura.

Hacer una lista de cualquier suposición razonable. Nuestra primera tarea es encontrar la velocidad de flujo a través del capilar. Entonces podemos calcular el numero de Reynolds.

Esto nos conduce a encontrar el numero de Nusselt y luego a encontrar el coeficiente de transferencia de calro.

Entonces calculamos el numero de Stanton, y usamos la ecuación.



Para encontrar la caída de temperatura a través de la longitud L.

Suponemos que no hay perdidas de presión significantes debido a la friccion en la tubería entre el deposito y la entrada capilar.

Entonces tomamos la presión en la entrada del capilar como la hidrostática, y encontramos.



Suponga que el flujo es turbulento y estime el factor de friccion de:



Introducimos la definición del factor de friccion.



Y reemplazamos v en términos del numero de Reynolds y encontramos una ecuación para Re.







Todo es conocido en esta ecuación excepto Re, tal que introducimos los parámetros conocidos y encontramos.

Re = 2700 y f = 0.011

Ahora, necesitamos una correlacion para el coeficiente de transferencia de calor. Tenemos varios criterios, pero ilustrareomos dos.

Podemos suponer que la analogía de Colburn se cumple.

Necesitamos un numero de Prandtl para agua, pero a que temperatura T haremos la evaluacionÉ

La temperatura del agua estará obviamente en el rango de 32 a 75 F.

Suponga una temperatura promedio de 50 F, al cual el numero de Prandtl es Pr = 8.6, Entonces:



, y además,

Entonces,





Vemos que la temperatura promedio a lo largo de la longitud del tubo es 64 F, no 50 F supuestos en el calculo del numero de Prandtl. Corregimos el Pr (Pr = 7.1 a 64 F) y hacemos el calculo de nuevo. Encontramos.

TL = 48 F.

Continuamos iterando, usando una estimación mas adecuada de la temperatura promedio T para cada tiempo, para obtener una estimación mas adecuada de Pr. La convergencia es al siguiente valor.

TL = 48 F.

Una correlacion empirica recomendada comúnmente para la transferencia de calor en tubos y con flujo turbulento es la ecuación de Dittus – Boelter.



Entonces,



Lo cual produce la temperatura al final de la longitud TL = 54 F.

Esto es justamente ligermente diferente de TL = 48 F

Entonces esas dos correlaciones para h, el coeficiente de transferencia de calor, son completamente similares bajo esas condiciones de flujo.

Ejemplo 12 – 4 – 2, pagina 454, Midd

Encuentre la longitud de un tubo con diámetro interno de 2 pulgadas, requeridos para calentar 70 lbÉh de aire a 1 atm desde 70 F hasta 230 F. La pared del tubo se encuentra a 250 F a lo largo de la longitud entera.





Necesitamos el numero de Stanton. De nuevo, examinamos dos rutas para encontrar el numero de Stanton.

1.- Analogia de Colburn.

Encontramos el numero de Reynolds Re de:



Necesitamos un estimado de la temperatura del aire tal que podamos encontrar un valor para la viscosidad del aire. La temperatura promedio T del aire a lo largo del eje del tubo es conocida, 150 F, y a esta temperatura.



Entonces,se sigue que.



En estas condiciones, el numero de Prandtl para el aire es Pr = 0.7

Usando

Se sigue que…



Entonces encontramos que la longitud requerida debe ser L = 18 pies.

Dittus and Boelter.

Comenzamos por.



Caso del flujo de calor constante en la superficie del tubo.

Ejemplo 12 – 4 – 3.-

Aire entra a un tubo de 1 pulgada a 2 atm y 202 F es calentado conforme fluye a una velocidad lineal de 10 mÉs Una condición de flujo de calor constante es mantenida en la pared, y la temperatura de la pared es 20 C superior a la temperatura del aire, todo a lo largo de la longitud del tubo.

Cual es la elevación de la tempratura sobre los 3 m de longitud del tuboÉ

Solucion.

Primero calculamos el Re. Las propiedades del aire a 200 C son como sigue.



,

El flujo es turbulento. Usaremos la ecuación de Dittus Boelter.





El flujo de masa es.



Asi de la ecuación,



Ejemplo 12-5-1.

El dise;o de un calentador solar, coeficiente convectivo de calor h constante. El agua fluye a una velocidad de 0.1 kgÉseg a través de un tubo de diámetro de 60 mm, el cual recibe radiación solar a un flujo neto de 2000 WÉm2.

Que longitud del tubo es requerida para elevar la temperatura del agua desde 20 a 60 CÉ, Cual es la temperatura de la superficie T del tubo al final, aguas abajoÉ

Solucion.

Calculamos las propiedades físicas a la temperatura del agua de 40 C.



Primero, debemos estimar el coeficiente de transferencia de calor.



El flujo es turbulento, y si el tubo es suficientemente largo, será posible usar un valor constante del coeficiente de transferencia de calor para este dise;o.

Seleccionamos la ecuación de Dittus – Boelter para estimar el coeficiente de transferencia de calor.



La longitud requerida del tubo se obtiene de.





La temperatura de la superficie al final aguas abajo es:



Si el flujo es laminar, y el flujo de calor es constante y especificado, la temperatura a lo largo del eje aun sigue:



,

La cual es valida para flujos laminar o turbulento, y debemos usar la figura 12-5-5 para el coeficiente local de transferencia de calor.

Ver figura.

Usando la curva de flujo constante, unicamente si necesitamos estimar la temperatura TR(L) a lo largo de la superficie del tubo.

Ejemplo 13-2-1.Capacidad de enfriamiento máxima de un intercambiador de area fija.

El agua a la velocidad de a 100 F esta disponible para uso como un refrigerante en un intercambiador de calor de tubo doble cuya area de superficie total es 15 ft2.

El agua se usara para enfriar aceite desde una temperatura inicial de 250 F.

Debido a otras circunstancias, una temperatura de salida mayor que 210 F no puede ser permitida la temperatura de salida del aceite no debe ser debajo de 140 F.

El coeficiente de transferencia de calor global es y se supone independiente de la velocidad de cualquier corriente en el rango de interés. Estime la velocidad de flujo máxima del aceite que puede ser enfriada, suponiendo que la velocidad de flujo de agua es fija a 500 lbmÉhr.

Ver figura.



Solucion.

Primero, tratar el flujo a co corriente. Como se indica en la figura 13 –2-2, las temperaturas deben satisfacer.

Entonces,



La velocidad de flujo máxima del aceite será lograda si permitimos Tw para estar en su máximo valor de Tw = 210 F.

Esto lleva a la temperatura del aceite y a la velocidad de flujo del aceite como incognitas para resolverse de un balance de calor.

Y una ecuación de funcionamiento.



Pero para la corriente de agua,



Encontramos que



Se sigue que

To = 238 F.

Resolviendo para el flujo de aceite encontramos.



. Co current.

El aceite es enfriado 11.5 F desde su valor de entrada de 250 F.

2.- Pruebe el flujo contra corriente, con base al perfil de temperatura en la figura 13-2-3.

De nuevo permitimso que agua llega a su temperatura máxima permisible de 210 f.

Entonces la temperatura de salida del aceite es encontrada del balance de calor.

La ecuación 13 – 2- 12 es valida, sin importar la dirección de los flujos, entonces tiene los mismos valores que antes.



,

Ahora, sin embargo, encontramos To = 221 F, y….



, contra corriente.

El aceite es enfriado 29 F.

Ver figura.

Transferencia de masa.

Ejemplo 6-4-1.- La transferencia de masa en flujo a través de un canal plano paralelo: Definicion de una fuerza impulsora de la concentración.

El campo de flujo y los perfiles de concentración son ilustrados en la figura 6-4-4. Suponemos que el perfil de concentración en la entrada del canal es uniforme.

Ver figura.

Fig 6-4-4.- Disolucion desde la pared de un canal hacia un flujo laminar completmente desarrollado.

La difusión y disolución hacia el flujo ocurre desde la frontera solida.

Un balance diferencial de especies da.

, ecuación 6.4.14

Donde es la concentración molar promedio de mezclado a través del canal. En la ecuación 6.4.14 k es definida como el coeficiente local de transferencia de masa y Q es la velocidad de flujo volumétrica en el canal.

El factor de 2 considera la transferencia de ambos lados del canal.

Si Cs es constante.



Podemos integrar la ecuación 6-4-5 entre la entrada x = 0 y cualquier posición arbitraria L aguas abajo, con el resultado.







, ecuación 6-4-16

Donde definimos el coeficiente promedio de transferencia de masa como



, ecuación 6-4-11

Note que no hemos supuesto que k es constante a lo largo de la longitud del canal.



B es la mitad del ancho del canal.

Existe otra forma de escribir la ecuación 6-4-16 que conecta este resultado a otros estudios clásicos de procesos de transferencia de masa.

Definimos una longitud denotada por HTU tal que:



, ecuación 6 – 4 – 19

Entonces,



O bien,

HTU se llama altura de una unidad teorica y es una medida de la eficiencia de la transferencia de masa.

De la ecuación 6-4-19 vemos que



De nuevo, considerar que Re y Sh Usar B como la escala de longitud y no L.

O bien,

.

Regresando ahora a nuestra tarea inicial, escribimos la transferencia total (no el flujo) de la especie soluble en el flujo, sobre la longitud completa L del canal, en la forma.



, Ecuacion 6-4-23



Example 6-4-2.

Suponemos que el aire a 16 C fluye a través de un canal delgado limitado por planos paralelos largos, cubierto con naftaleno solido. Queremos preparar un trazo que permita predecir la concentración de naftaleno en la fase gas a la salida del canal como una función de la velocidad de flujo del gas. Los siguientes datos están disponible.

P vap = 0.037 mmhg.

DAB = 0.071 cm2és, B = 0.1 cm.

Q = 10 a 1000 cm3és, Sc = 2.25, W = 10 cm, L = 20 cm.

Comenzamos con un calculo para el Re para este flujo.

A la velocidad de flujo inferior, Q = 10 cm3és, el Reynolds es.



Entonces, el flujo es laminar sobre el rango completo de velocidades de flujo anticipadas.



Usaremos figura 6-4-3 para el cálculo del Numero de Sherwood (el grosor de película delta es remplazado por la mitad de grosor del canal B)

Ver la figura, donde se representan las curvas

.

Vemos que en el flujo inferion, estamos en el régimen de Sherwood constante y encontramos.



,

De la ecuación 6-4-20



, encontramos inmediatamente que el aire abandona este gran canal en equilibrio con el naftaleno, entonces, exp(-46) = 0.

A la velocidad de flujo mayor del rango anticipado, de la figura 6-4-3 ( o mas bien de las ecuaciones 6-4-8 y 6-4-9), Y = 0.505 y asi,



Entonces el canal es únicamente 10 cm de longitud, esperamos que el aire no estará cerca del equilibrio en este caso.

De la figura 6-4-2, encontramos.

Con la suposición que el aire no tiene naftaleno a la entrada del canal (C1 = 0), podemos escribir la concentración de salida como:





Tal que la concentración de salida del naftaleno en aire es.



Este procedimiento es seguido para otros flujos, y los resultados son tabulados como sigue.





Y



10

46

49

30

15.2

49

100

4.57

48.5

300

1.52

38

1000

0.5

20

Sobre este rango de velocidades de flujo el flujo es laminar.

Ejemplo 6-4-3.

Cuando el flujo es turbulento, podemos esperar conseguir un estimado razonable del comportamiento a través del uso de la teoría de película, y en particular a través del uso de la analogía de Chilton – Colburn. Asi, comenzamos con.

Para flujo turbulento en un tubo circular, este resultado conduce a predecir que.



El radio hidráulico para un canal amplio es dado por.



Hemos asegurado que W mucho mas grande que B.

La ecuación 6-4-36 es transformada a.

Para flujo en canal.

Donde Re y Sh usan la mitad del anchor del canal B, como la escala de longitud. Esto nos permite usar la ecuación 6-4-20 en la forma.

Example 7-3-1.

Retornar a 6-5-1.

Conversion de datos de velocidad de evaporación a datos Sh.

La ecuación de definición para el coeficiente de transferencia de masa viene de un balance especial tal como la ecuación 6-4-23.

Para el canal de placas paralelas. Tomaria una forma diferente para transferencia desde la pared de un tubo circular, por ejemplo.



Donde N es el flujo molar total de las especies evaporando sobre la longitud del evaporador.

Asi, escribimos el numero de Sherwood Sh como:

Ahora escribimos la siguiente observación experimental.

Alcohol m butil fluye a una velocidad de 790 cm3émin como una película dentro de un tubo de diámetro D = 2.67 cm y longitud L = 117 cm.

El aire fluye a la velocidad de 100 gémin a contra corriente a la película de liquido. La temperatura de flujo de entrada = 52.4 para aire y la temperatura de aire de salida 47.6 C. El enfriamiento evaporativo considera este cambio en temperatura.

La película liquida esta a la temperatura del aire a cualquier punto a lo largo del tubo. La presión absoluta en el tubo es 820 mmhg y es supuesta tentativamente constante a lo largo del eje del tubo. Suponemos que la caída de presión debida a las perdidas por friccion es peque;a a esas velocidades de flujo.

La velocidad de evaporación es , basada en el liquido.

La cual tiene una densidad de 0.81 gécm3. La presión de vapor del alcohol n butil es 38 mmhg a la temperatura de entrada y 28.7 mmhg a la salida. La difusividad es 0.09 cm2és a los valores promedio de 50 C y 820 mmhg del gas. El peso molecular es 74.

De la ecuación 6-5-11 vemos que necesitamos calcular dos cantidades, el flujo evaporativo y la fuerza impulsora de la concentración.



Flujo evaporativo.

La area mojada es

La velocidad de vaporización molar o flujo es.



Fuerza impulsora de la concentración.



Tomamos el valor de entrada de la presión parcial como P1 = 0.

La presión de vapor del liquido es diferente diferente en los dos extremos.

A la salida, tenemos una velocidad de flujo de alcohol en el gas de 0.81x6.9 = 5.56 gémin.

La presión total 820 mmhg es la suma de las presiones parciales del alcohol y el aire. La presión parcial del alcohol en el gas de salida es entonces::

Hemos usado el hecho de que la velocidad del aire es 100 gémin.



Como N se encuentra en unidades molares.



, , RG = 82.

Queremos Re para este conjunto de datos.



Para un flujo de aire de 1000 gémin, encontramos.



The Schimidit numero del alcohol en aire es Sc = 1.9, entonces, la viscosidad cinematica del aire es







El factor j para la transferencia de masa es.



El factor de friccion para el flujo en el tubo a este Re es.



Y asi,

El cual es únicamente 30% abajo del factor j. Entonces, la anologia de Chilton – Colburn proporciona una predicción razonable de esos resultados sin no hay datos disponibles.

Ejemplo 6 – 6 – 1. Flujo de gas para sostener el crecimiento en un fermentador.

Un cultivo de células es crecido en un fermentador de tanque agitado y es mantenido por abastecimiento continuo de oxigeno al cultivo. El metabolismo de las células remueve algo del oxigeno disuelto del cultivo.

La transferencia de masa del oxigeno desde la burbuja de gas al cultivo se supone que controla la velocidad de metabolismo de las células. Entonces un balance de especies sobre el oxigeno disuelto en el cultivo toma la forma.



A es area interfacial total.





= densidad de masa de las células.concentración a condiciones criticas de operación.

Si , el coeficiente de capacidad debe ser



aV = area interfacial por unidad de volumen total, VL.

Los siguientes valores son conocidos.



El fermentador contiene 64 L de cultivo (agua) y tiene una area seccional transversal de 1600 cm2. Queremos especificar las velocidades de gas requeridas.

Usamos la figura 6-6-3.

Er figura.

De la ecuación 6-6-16 encontramos.

Para arreglar unidades.

1 mol de gas ocupa 22.4 L a condiciones estándar, asi, 1 atmosfera de diferencia de concentración corresponde a

De esto, encontramos que la conversión es.



Entonces, encontramos,



De la figura6-6-3, encontramos ahora un valor del eje x de:



De lo cual se sigue que la velocidad del gas es.



De esta definición, la velocidad superficial es la velocidad volumétrica dividida por el area seccional transversal del recipiente (1600 cm 2).



Slm=litros estándar por minute. Por ejemplo el volumen medido a 1 atm y 273 K.

Ejemplo 6-6-2.

Determinacion experimental de kcav.

Los datos de abajo fueron obtenidos siguiendo el incremento en la concentración de oxigeno disuelto al disolver oxigeno puro en agua que esta inicialmente saturada con respecto al aire. El instrumento no fue calibrado para oxigeno puro, entonces tomamos las lecturas para ser proporcionales a la concentración real.

t(s)

X(ppm)

T(s)

X(ppm)

0

40

60

153

10

94

70

156

20

107

80

157

30

128

90

158

40

146

120

160

50

149







Como no ocurre reacción en este experimento,

En este ejemplo, el agua tiene una concentración inicial de oxigeno disuelto. Entonces.



Los datos son graficados en la figura 6-6-5 de acuerdo con este modelo.

Ver figura.

Xo = 40 ppm.

Xsat = 160 ppm.

La pendiente produce un valor para el coeficiente de capacidad, el cual en este caso es

Kcav = 0.053 s -1.

Ejemplo 6-7-1.

Efecto de la polarización de la concentración sobre flujo permanente.

Consideramos el funcionamiento de un sistema RO de plato paralelo bajo las siguientes condiciones.

Probado con agua pura, el flujo de permeado es 0.05 galéh a la diferencia de presión de 100 psi con una area de membrana de 0.25 pies2.

El sistema de osmosis inversa (RO) es agua alimentada que tiene 1 % (en peso) de cloruro de sodio. La altura del canal es 2h = 2 mm, el ancho es W = 20 cm, y la longitud es 30 cm.

Las velocidades de alimentación estarán en el rango de 2 a 20 Lémin.

La presión aguas abajo sobre el lado de la presión alta es controlado a un valor constante de 500 psi.

El coeficiente de rechazo de la membrana, definido como es r = 0.98 o 98%.

Queremos encontrar, como una función de la velocidad de alimentación, la fracción de la alimentación que aparece como permeado, la cantidad de permeado (la concentración de la sal), y la polarización (la cual definimos como la relación de la concentración en la superficie de la membrana a su valor en la alimentación).

Solución.

Primero, necesitamos el coeficiente de permeabilidad de la membrana Km, de la ecuación 6-7-1,



Para flujo de agua pura, usando los datos encontramos.



Usamos una velocidad de alimentación de 2 Lémin.

El Re, usando la mitad del anchor h como la escala de longitud.

Usamos la velocidad de flujo volumétrica.

Q = 2hWU

Para soluciones de agua salada, el numero de Schimidit es Sc = 620.

Para soluciones de agua salada, el numero de Schimidit es Sc = 620

Podemos calcular un valor de



De la figura 6-7-2 encontramos.

Sh= 6.5 tal que el factor j es.

Tenemos dos incognitas. Cw, la concentración de sal en la superficie de la membrana Qp, la velocidad de permeado.

Es necesario por supuesto, convertir todos los parametros a un conjunto consistente de unidades. Escribimos la ecuación 6-7-1 como.

El coeficiente osmótico para agua salada puede ser escrito como.



Convertimos Km dado en ecuación 6-7-7 a.



Entonces.



Donde la concentración es en unidades de % en peso. En ecuación 6-7-6.



Necesitamos la velocidad lineal promedio de la alimentación, la cual es.

U = 8.33 cmés a una velocidad de alimentación de 2 Lémin. Entonces.

Podemos resolver la ecuación 6-7-5 por prueba y error y encontrar.

Cw = 1.9 %.

Entonces el flujo de permeado es, de la ecuación 6-7-14,



El flujo de permeado es Qp veces el area de la membrana, o (suponiendo que ambos lados del canal son membranas cubiertas)



Esto representa 2.4% del flujo de alimentación. La calidad del agua ahora sigue de la región del coeficiente de rechazo afirmado de 98 %.



Calculos similares pueden ser efectuados a otras velocidades de flujo.

A velocidades de flujos mayores, el coeficiente de transferencia de masa se incrementa, la polarización decrece y la calidad del agua se mejorara.

Ejemplo 6-8-1.

Disolucion de particula en un tanque agitado: Coeficiente de transferencia de masa.

Una solución acuosa viscosa y es agitada en un tanque de diámetro dT de 2m, llenado hasta una altura de HT = 2m.

Una turbina con 6 cuchillas con di = 0.5 m rota a N = 90 rpm.

El tanque tiene bafles y la figura 6-8-1 aplica.

Ver figura.

Cual es el coeficiente convectivo de transferencia de masa entre el liquido agitado y las partículas de solido inmersas en el liquidoÉ El coeficiente de difusión del soluto disuelto en el liquido es 5 x 10 -10 m2és.



De la figura 6-8-1 encontramos Np = 6, entonces.



El volumen agitado es.



De la ecuación 6-8-5 encontramos.





Y entonces,

Suponemos en el ejemplo que sigue que todas las partículas son del mismo tama;o.

Ejemplo 6-8-2.- Disolucion de partículas en un tanque agitado: Tiempo de disolución.

Un solido muy soluble (azúcar) será disuelto en un tanque agitado. Particulas esféricas de radio inicial Ro = 6 mm están disponibles.

Encuentre el tiempo para disolver 30 % de la masa inicial, cuando kc tiene el valor encontrado en el ejemplo 6-8-1.

Para el azúcar a 25 C, la densidad es 1600kgém3, y Cs = 1800 Khém3.

Si suponemos que la convección del azúcar disuelto desde la interfase solido – liquido es el paso controlante en la disolución, entonces un balance de masa simple toma la forma.



Estamos suponiendo que el azúcar disuelta es dispersada rápidamente a través del tanque agitado y que el volumen del tanque es tan largo que la concentración del azúcar en el seno del liquido es muy peque;a comparada a la solubilidad de equilibrio.



Donde Mo es la masa inicial de inicial y el radio inicial Ro de cada particula. Resolviendo



Para este ejemplo, queremos el tiempo al cual , Entonces encontramos



Hemos supuesto que el radio de particula permanece constante aun si la particula esta disolviéndose. No es difícil confirmar que para 30 % de disolución, el cambio en radio es peque;o.

Bbliografia.i

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