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Matrices y algebra lineal


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  1. MATRICES Y ALGEBRA LINEAL



3.1Definición de matriz
Una matriz A= es un arreglo rectangular de elementos ubicados en m filas y n columnas

A= (2.1)
Donde es el elemento ubicado en la i-ésima fila y la j-ésima columna. Los elementos que forman la matriz pueden ser números complejos o magnitudes de cualquier campo físico con una estructura aún más compleja. En particular si los son números reales, entonces A es denominada una matriz real.

La dimensión de A es mxn y cuando m=n se dice que A es una matriz cuadrada. Si n=1, diremos que A es una matriz columna o un vector columna (más específicamente un vector columna m-dimensional). Si a la inversa m=1, A es una matriz fila. Cuando m=n=1 A se reduce a un solo elemento o a un escalar. Si =0 para todo i y j, entonces A es la matriz nula.




    1. Operaciones con matrices


Igualdad de matrices: Dos matrices A= y B= del mismo orden (es decir con igual número de filas y columnas) son iguales, A=B, si y sólo si = para todo i y j.
Multiplicación de una matriz por un escalar: Sea un número complejo y sea A= una matriz de dimensiones mxn; entonces, el producto A es una nueva matriz C= , tal que para todo i y j.
Adición y sustracción de matrices: Si dos matrices A= y B= tienen el mismo orden (dimensión) definimos la suma o diferencia de matrices, C=A B, como una nueva matriz C= , tal que para todo i y j. La adición de matrices es una operación conmutativa, es decir A+B=B+A, o en una forma más general A+B+C = (A+B )+C = A +(B +C ), no ocurre lo mismo con la sustracción.
Multiplicación de matrices: Sea A= (de dimensión mxn) y B= (de dimensión nxp), se define el producto entre matrices, A B ó A B, como una nueva matriz C= (de dimensión mxp), donde

(2.2)

Ejemplo1:



A= B=

AB= BA=
Ejemplo 2:
A= , B= , AB=
Debemos hacer notar que la multiplicación AB está definida si y sólo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. En este caso se dice que ambas matrices son conformables en el orden indicado (AB). En general el producto entre matrices no es conmutativo (ver Ejemplo 1), es decir: AB BA. Si A= y B= , entonces AB está definido, pero BA no lo está a menos que m=p. Sin embargo, si m=p, AB y BA son de distinto orden, a menos que m=n. Si A y B son matrices cuadradas (igual número de filas que de columnas) y del mismo orden, entonces el producto conmuta, AB=BA.
Ejemplo 3: A= y B= , entonces AB=BA
Resulta consistente con las definiciones anteriores, el dividir una matriz en submatrices menores. Este proceso es conocido como partición de una matriz y resulta muy útil en programación, especialmente cuando se trabaja con matrices de grandes dimensiones. Por ejemplo, si partimos simétricamente una matriz cuadrada A de orden tres de la forma

A=
Donde los elementos de la partición son las submatrices
, , y
Si hacemos una partición similar para una matriz cuadrada C de orden tres

C=

Se verifica que la suma o diferencia y el producto de ambas matrices puede ser expresado en función de sus submatrices como:


A B= y AB= (2.3)
En general se puede afirmar que, si partimos dos matrices conformables en un producto, serán condiciones necesarias y suficientes para aplicar la definición siguiente: (la adición, sustracción y producto de dos matrices puede ser obtenida a partir de la adición, sustracción y producto de sus correspondientes submatrices’ ) que a cada línea vertical de partición que separe las columnas k y k+1 del primer factor, corresponda una línea de partición horizontal que separe las filas k y k+1 del segundo factor, y que en el segundo factor no haya líneas de partición horizontal adicionales.
Las particiones, pueden hacerse independientemente en columnas, filas o combinadas como en el caso anterior.

Supongamos que tenemos las matrices A y D, tales que:





A= D= y
AD=F=
Si partimos en columnas las matrices D y F
D= = y

F= =
tendremos un hecho ya conocido de que cada columna de F puede ser obtenida premultiplicando la columna correspondiente de D por la matriz A. Es decir

=A y =A

De una manera similar, si partimos en filas las matrices A y F veremos que cada fila de F es el resultado de postmultiplicar las filas correspondientes de A por la matriz D .


Lo anterior resulta sumamente útil en el caso de matrices grandes como ocurre en meteorología, oceanografía y en la geofísica en general, donde la longitud de las series de datos, como el número de localidades donde se toman los mismos, es grande (en la práctica es frecuente trabajar con matrices de datos con dimensiones cercanas a 1000 x 1000).

Particionar las matrices al confeccionar un programa implica una gran economía tanto en memoria como en tiempo de ejecución.





    1. Definiciones


Transpuesta de una matriz: Al intercambiar las filas y columnas de una matriz A= se obtienen la denominada matriz traspuesta de A, AT. Es decir, AT= donde para todo i y j. Debemos hacer notar que la dimensión de AT es de nxm.
Matrices simétricas y antisimétricas: Una matriz cuadrada A= es simétrica si A= AT y asimétrica si A= -AT.
Matriz conjugada: Sea el complejo conjugado de , entonces la matriz conjugada de A= es Ā .
Matriz traspuesta conjugada: La traspuesta conjugada de A= , es A*= Ā T.
Matrices hermíticas y antihermíticas: Si una matriz cuadrada A= satisface que A= Ā T, entonces se dice que A es hermética. Si A= -Ā T entonces se dice que A es antihermítica.
Traza de una matriz: Sea una matriz cuadrada A= , entonces la diagonal principal de A esta formada por los elementos tales que i=j. Se define como traza de la matriz A la suma de los elementos de la diagonal principal ( trA= ).

Matriz diagonal: A es una matriz diagonal si =0 para i j.
Matriz triangular superior: A es una matriz triangular superior si =0 para i y estrictamente triangular superior si =0 para i j.
Matriz triangular inferior: A es una matriz triangular inferior si =0 para j>i y estrictamente triangular inferior si =0 para j i.
Matriz identidad: Se define como matriz identidad(o unitaria), I= = , aquella matriz que satisface las condiciones que =1 para i=1,,m y =0 si i j. Frecuentemente resulta útil la notación que utiliza la denominada delta de Kronecker:

(2.4)

Utilizando esta notación, podemos escribir la matriz identidad en la forma



I= (2.5)

Matriz normal: Se dice que A es una matriz normal si A A*= A*A.
Matriz unitaria: Se dice que una matriz A es unitaria si satisface que A A*= A*A=I.
Matriz indempotente: Se dice Se que A es una matriz indempotente si A2=AA=A I.
Matriz nilpotente: Si r>0 es el menor entero que satisface que Ar=0, donde

Ar=AA .. A (r veces), entonces A es nilpotente con índice r.



    1. Algunas propiedades de las matrices

De las operaciones y definiciones anteriores el lector podrá deducir algunas propiedades interesantes de las matrices:


- Para cualquier matriz A, las matrices definidas como A A* y A*A son herméticas y tr(A A*)=tr(A*A)= , donde .

- Si A= y B= , entonces tr(AB)=tr(BA).


- Cuando el producto AB está definido, entonces (AB)*=B*A*.
- La matriz identidad satisface que: AI=IA=A e I n=I para cualquier n>0.
- Si A es una matriz hermética, entonces iA es anti-hermítica.
- Cualquier matriz cuadrada A puede ser expresada como la suma de una matriz simétrica 1/2 (A+ AT) y una asimétrica 1/2 (A- AT).
- Cualquier matriz cuadrada A puede ser expresada como la suma de una matriz hermética 1/2 (A+ A*) y una antihermítica 1/2 (A- A*).
- Sea una matriz cuadrada A=(1/m) , donde =1 para todo i,j, entonces A es indempotente.


  1. (A+B)T=AT+BT , (AB)T=BTAT , (AT)T=A



    1. Determinantes

Sea una matriz cuadrada A= , definimos como determinantede orden n a un número asociado a A que indicaremos por det(A)=



det(A)= (2.6)
Para definir el valor de un determinante necesitamos introducir algunos conceptos
Menor: Dado un elemento de det(A), asociamos un nuevo determinante de orden (n-1) que se obtendrá luego de remover todos los elementos de la fila j-ésima y de la columna k-ésima. Este nuevo determinante se llamará menor correspondiente al elemento , que designaremos como Mjk.

Ejemplo:


El menor correspondiente al elemento del determinante det(A) se obtiene en la siguiente forma (eliminando la fila y columna marcadas con y )
det (A)= entonces

M22=

Cofactor: Si multiplicamos el menor Mij por (-1)i+j, el resultado se denomina cofactor de y la designaremos como Aij.

Ejemplo 4:



A= entonces A21=(-1)2+1 = -M21
Matriz adjunta(o adjunta de una matriz). La adjunta de una matriz cuadrada A es la traspuesta de la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento de la misma por su cofactor. Es decir:
A= entonces

Adj(A)= =
Determinante. El valor del determinante de una matriz cuadrada A de orden n, se define como la suma de los productos de los elementos de una fila fila (o columna) cualquiera de dicha matriz por sus correspondientes cofactores. Esto nos conduce a las denominadas fórmulas de desarrollo de Laplace.

det(A)= o det(A)= (2.7 a,b)

para cualquier valor de i o j.


Comentemos algunas propiedades de los determinantes, las que simplifican mucho la evaluación de los mismos.
1.- Si todos los elementos de una fila (o columna) son iguales a cero, el determinante es nulo.
2.- El valor de un determinante no cambiará si se intercambian sus filas y columnas. Es decir det(A)=det(AT).
3.- det(I)=1
4.- Sea un escalar y A una matriz cuadrada de orden n, entonces det( A)= det(A)
5.- El intercambio de dos filas (o dos columnas) cualesquiera cambia el signo de su determinante.
6.- Si los elementos correspondientes a dos filas (o columnas) son iguales o proporcionales, el determinante será nulo.

7.- Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces:
det(AB)=det(A) det(B)


    1. Desarrollo por filas o columnas

Un caso especial de las fórmulas de Laplace es el desarrollo de un determinante por una cierta fila o columna. El desarrollo por la i-ésima fila de una matriz cuadrada A de orden n, es de acuerdo a (2.7)



det(A)= = (2.8a)

Similarmente si desarrollamos por la j-ésima columna



det(A)= (2.8b)

La comprobación de las propiedades 1 a 4 es una cuestión sencilla a partir de (2.8a) o (2.8b)

Para comprobar la propiedad 5 procederemos inductivamente:


  1. Las columnas que se permutan son consecutivas (la k-ésima con la (k+1)-ésima) columna


j= 1 2 k k+1 n j= 1 2 k k+1 n

Sea A= y A’= (2.9)


Desarrollando A por la k-ésima columna (2.8b)

det(A)= (2.10)

Desarrollando A’ por la (k+1)-ésima columna



det(A’)= (2.11)

para cualquier valor de i, cada k en las sumatorias (2.10) y (2.11) verifica que:



Dado que los y para cada i,k

Por lo tanto det(A)= - det(A’)
ii) Suponemos válida la propiedad para permutaciones entre las columnas k-ésima y (k+h)-ésima (columnas separadas h lugares), es decir que se verifica que det(A)= - det(A’).
det(A) = (-1) det
iii) Debemos demostrar que también se verifica para permutaciones entre las columnas k-ésima y (k+h+1)-ésima
det =



= (-1) det =

Por ( i) (se permutaron dos columnas consecutivas, indicadas con )



= det =

por (ii) (se permutaron dos columnas separadas por h posiciones, indicadas con )

= (-1) det

Por (i) (se permutaron dos columnas consecutivas, indicadas con ), quedando demostrado iii).
La propiedad 5 se obtiene como una consecuencia de la propiedad 4
El resto de las propiedades de demuestran fácilmente y quedan como ejercicio para el lector.

Si en (2.7 a) reemplazamos por , el resultado debe ser el determinante de una nueva matriz, donde los elementos de la fila i estén reemplazados por los elementos correspondientes a la fila r. Por consiguiente debe anularse si por la propiedad 7. Se obtienen un resultado similar si reemplazamos por en (2.7 b) cuando . De esta forma además de (2,7 a,b) tendremos las relaciones:



( , (2.12 a,b)

2.7 La matriz inversa
Definiremos en primer lugar Demostraremos que una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante es distinto de cero.

Sea A una matriz cuadrada de orden n la que suponemos que posee inversa. Entonces existe una cierta matriz B, tal que


AB=BA=I (2.13)

Entonces


det( AB)= det(BA) =det( I )
Según las propiedades 6 y 1

det(A) det(B)= det(B) det(A)= 1 (2.14)
En consecuencia det(A) 0, pues en caso contrario su producto con det(B) sería nulo y no igual a 1.
Previamente necesitaremos probar una propiedad del deteminante:
9- Cualquiera sea la matriz cuadrada A, de orden n, se verifica que:
A Adj(A)=Adj(A) A=det(A) I (2.15)
Aplicando la definición de matriz adjunta tenemos que:

A Adj(A)= =

= donde los términos fuera de la diagonal principal son nulos en virtud de(1.8 a)
= por la propiedad 8
= = det(A) I

En forma análoga se comprueba que



Adj(A) A=det(A) I.
Entonces si det(A) es un escalar distinto de cero, dividiendo por el en (2.15) tendremos
A Adj(A)(det(A))-1=Adj(A) A (det(A))-1=I
Entonces por definición existe A-1 y es
A-1= Adj(A) (det(A))-1 (2.16)
Si una matriz no tiene inversa se dice que es una matriz singular. Una matriz A tiene inversa, si y sólo si det(A) 0. En forma equivalente, una matriz A es no-singular, si y sólo si det(A) 0.

En particular si A y B son dos matrices no singulares se verifica que su producto es también no singular.


Si AB=C con det(A) 0 y det(B) , entonces (2.17)
det(AB)= det(A) det(B) (de acuerdo a la propiedad 7)= det(C)
Por otra parte, para determinar la inversa de un producto de matrices cuadradas no singulares, partimos de

AB=C

Premultiplicando ambos lados de la ecuación sucesivamente por A-1 y B-1



B-1(A-1A) B= B-1 A-1C

I= B-1 A-1C
Posmultiplicando ambos lados de la ecuación por C-1
I C-1= B-1 A-1

Es decir



C-1= B-1 A-1 (2.18)
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