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John Nash y la teoría de juegos Sergio Monsalve Universidad Nacional de Colombia, Bogotá


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John Nash y la teoría de juegos


Sergio Monsalve

Universidad Nacional de Colombia, Bogotá
Al profesor y académico Don Jairo Charris Castañeda

In memoriam

Abstract. In the last twenty years, game theory has become the dominant model in economic theory and has made significant contributions to political science, biology, and international security studies. The central role of game theory in economic theory was recognized by the awarding of the Nobel Price in Economic Science in 1994 to John C. Harsanyi, John F. Nash, & Reinhard Selten. The fundamental works in game theory of John F. Nash together with a brief exposition of them are included in this article.

Key words and phrases. John Nash, History of Mathematics, Game Theory

1991 Mathematics Subject Classification. Primary 01A70. Secondary 91A12.
Resumen. En los últimos veinte años, la teoría de juegos se ha convertido en el modelo dominante en la teoría económica y ha contribuido significativamente a la ciencia política, a la biología y a estudios de seguridad nacional. El papel central de la teoría de juegos en teoría económica fue reconocido con el premio Nóbel en Economía otorgado a John C. Harsanyi, John F. Nash & Reinhard Selten en 1994. Se presentan los aportes de John Nash a la teoría de juegos conjuntamente con una exposición elemental de ellos.

1. Introducción

La Real Academia Sueca para las Ciencias le otorgó el premio Nóbel en Ciencias Económicas del año 1994 a los economistas John C. Harsanyi, Reinhard Selten y al matemático John F. Nash, debido a su “análisis pionero de equilibrios en la teoría de juegos no cooperativos”. La Academia justifica este premio en economía a tres de los “grandes” en teoría de juegos con el argumento de que esta ha probado ser muy útil en el análisis económico. 60 años después de la publicación de la obra pionera de John von Neumann y Oskar Morgenstern (Theory of Games and Economic Behavior (1944)), la teoría de juegos había recibido el merecido reconocimiento como herramienta fundamental del análisis económico moderno y el aporte de John Nash fue fundamental.



2. ¿Qué es la teoría de juegos?

La teoría de juegos (o teoría de las decisiones interactivas es el estudio del comportamiento estratégico cuando dos o más individuos interactúan y cada decisión individual resulta de lo que él (o ella) espera que los otros hagan. Es decir, qué debemos esperar que suceda a partir de las interacciones entre individuos.



3. ¿Con qué estructuras estudiamos la teoría de juegos?

Existen, fundamentalmente, dos formas distintas de aproximarnos al análisis de una situación de interacciones entre individuos

I) La primera (que es quizás la dominante dentro del ambiente de los economistas) es la teoría de juegos no cooperativos, en la que, básicamente, tenemos un conjunto de jugadores, cada uno con estrategias a su disposición, y unas asignaciones de pagos que reciben por llevar a cabo tales estrategias. La característica “no cooperativa” está en la manera de cómo eligen y en lo que saben de los otros jugadores cuando eligen: en general, se supone que los individuos toman sus decisiones independientemente unos de otros aunque conociendo sus oponentes y las posibles estrategias que estos tienen a su disposición. Es decir, son

individuos egoístas pero que tratan de predecir lo que los otros agentes harán para obrar entonces en conveniencia propia. En esta estructura de análisis los agentes no alcanzan ningún nivel de cooperación.


Nada mejor que un ejemplo bien ilustrativo del modus operandi de este tipo de modelos. Y quizás el más elocuente de los juegos no-cooperativos elementales es el dilema del prisionero. La historia de este juego va como sigue: dos individuos son detenidos debido a que cometieron cierto delito. Ambos son separados en celdas diferentes y son interrogados individualmente. Ambos tienen dos alternativas: cooperar uno con otro (no-confesar) o no cooperar (confesar el delito). Ellos saben que si ninguno confiesa, cada uno irá a prisión por dos años. Pero si uno de los dos confiesa y el otro no, entonces al que confiesa lo dejarán libre y al que no confiesa lo condenarán a 10 años. Si ambos confiesan, los dos irán a prisión por 6 años. La situación se resume en la siguiente bimatriz (es decir, una matriz cuyos elementos son parejas números):


Prisionero 1



Prisionero 2




C



NC

C

(-2,-2)

(-10,0)

NC

(0,-10)

(-6,-6)

C = cooperar (no confesar), NC = no cooperar (confesar)
La pregunta natural es: ¿qué harán los detenidos? ¿cooperarán entre sí (no confesarán) o se traicionarán el uno al otro (confesarán)? Alguien desprevenido que esté observando este juego podría pensar que los dos jugadores cooperarían (no confesarían) puesto que en ese caso ambos obtendrían el menor castigo posible. Sin embargo, la estructura no cooperativa del problema hace que este arreglo no sea creíble: si se pactara la no-confesión por parte de los dos, ambos tendrían incentivos particulares para romperlo, pues dejando al otro en cumplimiento del pacto de no confesar y éste confesando, el que rompe el pacto obtiene la libertad mientras al otro lo condenarían a 10 años. Y, similarmente, estudiando las otras tres posibilidades del juego (es decir, (C,NC), (NC,NC), (NC,C)) observamos que el único acuerdo creíble (que significa que ninguno de los dos querría romper el pacto unilateralmente porque perdería) es (NC,NC). En definitiva, la predicción de lo que ocurrirá en el juego es que ambos confesarán y permanecerán en la cárcel 6 años.
La conclusión en situaciones similares a ésta (que son comunes en la vida diaria) es que la competencia egoísta puede conducir a estados que son inferiores (en términos de beneficio personal y social) a los estados cooperativos, pero que estos últimos no podrían implementarse a menos que existan reforzamientos externos (contratos firmados por ley, con verificación, etc.) que obliguen a las partes a cumplir con el acuerdo de cooperación.
Esta es la idea esencial de NASH al definir el concepto de equilibrio de Nash en su tesis doctoral en Matemáticas en la Universidad de Princeton (Non-cooperative Games (1950)): un equilibrio de Nash de un juego es un acuerdo que ninguna de las partes puede romper a discreción sin perder. Es decir, si alguien quiere romper el pacto y lo hace unilateralmente, se arriesga a ganar por debajo de lo que hubiese ganado dentro del pacto. Sin embargo, como queda claro en el juego del dilema del prisionero, esto puede no ser lo mejor socialmente para los jugadores.
Uno de los resultados que hacen del equilibrio de Nash un punto de referencia para casi todo análisis en el que las interacciones entre individuos estén involucradas es que

todo juego finito (es decir, finitos jugadores y finitas estrategias de cada jugador) tiene al menos un equilibrio de Nash, aunque involucre ciertas probabilidades objetivas de juego de las estrategias por parte de los jugadores.

Este resultado es del mismo NASH. En un artículo previo a su tesis de doctorado, y publicado también en 1950 (Equilibrium points in n-person games) él prueba, utilizando un teorema de punto fijo (el conocido teorema de punto fijo de Brouwer), que un equilibrio de Nash es un “punto fijo”: las expectativas de los gentes con respecto a lo que los demás harán, coinciden, todas, en el equilibrio de Nash.


II) La segunda estructura fundamental para el estudio de la teoría de juegos para desde allí predecir resultados de la interacción, es la teoría de juegos cooperativos o coalicionales. Aquí todavía tenemos los mismos agentes egoístas, pero ahora se asume que, si pueden obtener algún beneficio de la cooperación, no dudarán en formar coaliciones que son creíbles. Por supuesto, bajo una estructura como la de juegos no cooperativos, un acuerdo de cooperación puede no ser la “solución”, de manera que los agentes deben tener una estructura de información diferente si queremos un comportamiento acorde.
En una estructura cooperativa tenemos el mismo conjunto de jugadores egoístas, solo que ahora tienen información sobre cierta valoración a priori de las coaliciones. Es decir, se reconoce cuáles coaliciones son las más “valiosas” y cuáles las “menos valiosas”. Para concretar ideas, vamos a presentar un modelo que muestra bien el poder predictivo que puede tener este tipo de estructura y las soluciones asociadas. El modelo del peque˜no mercado muestra una estructura de mercado en la que hay un vendedor (jugador 1) de cierto bien que no podemos dividir en partes (piénsese, por ejemplo, en un automóvil como bien de uso), y dos compradores (jugador 2 y jugador 3) que desean comprar ese bien. Las valoraciones que a priori se le asignan a las coaliciones serán, en este caso, un reflejo del éxito o fracaso de la negociación entre el vendedor y el comprador dependiendo de cómo se emparejen, y no una predicción sobre quién de los dos obtendrá el bien (este problema tiene otra valoración). En este caso, asignamos la valoración a todas las posibles coaliciones de la siguiente forma:
V ({1, 2, 3}) = V ({1, 2}) = V ({1, 3}) = 1

(“si hay vendedor y comprador, el negocio se lleva a cabo”)



V ({1}) = V ({2}) = V ({2, 3}) = 0

(“si solo hay compradores o vendedor, no se realiza el negocio”)


Existen varias “soluciones” a ese tipo de juegos en forma cooperativa. Por supuesto, una “solución” debe significar una repartición de la riqueza o valoración total de todo el grupo de jugadores como gran coalición, de tal manera que a cada jugador le corresponda su “aporte” a ella. Cómo determinar el nivel de este aporte es algo que analizamos con las dos más importantes soluciones a juegos cooperativos: el núcleo y el valor de Shapley.
a) El núcleo del juego cooperativo (GILLIES (1953))

La idea de repartición detrás de la solución de núcleo es que si esta le asigna x1 al vendedor, x2 al comprador-jugador 2, y x3 al comprador-jugador 3, entonces debemos, por lo menos, tener que:


x1 + x2 + x3 = 1 (eficiencia) (i)
(los tres agentes se reparten el “poder” del mercado que está, a priori, en la unión de los tres).

V ({1, 2}) ≤ x1 + x2,

V ({1, 3}) ≤ x1 + x3,

V ({2, 3}) ≤ x2 + x3,

V ({1}) ≤ x1, (ii)

V ({2}) ≤ x2,

V ({3}) ≤ x3
(“lo que los agentes reciben a través de la asignación de núcleo es mejor que lo que recibirían antes de la asignación a priori V, y esto sucede en cualquier coalición que formen”).
Obsérvese que la asignación de núcleo es un acuerdo muy básico. Es una “invitación” a formar coaliciones: si usted forma alguna coalición ganará más de lo que gana en cualquier coalición del status quo determinado por la asignación a priori V .
Un poco de aritmética nos muestra que la única asignación de núcleo en nuestro pequeño mercado es x1 = 1, x2 = x3 = 0. En otras palabras, el núcleo está pronosticando que la importancia total del mercado la tiene el vendedor y que los compradores no tienen ninguna. Pobre predicción: no existe casi ningún mercado en el que los compradores no tengan ninguna importancia estratégica.
b) El valor de Shapley del juego cooperativo (SHAPLEY (1953)

Otra forma de distribución con consideraciones más sutiles que las de núcleo, es el valor de Shapley. Podría decirse que el valor de Shapley es a los juegos cooperativos, lo que el equilibrio de Nash es a los juegos no cooperativos.


Como ya habíamos descrito con el ejemplo anterior, un juego cooperativo consiste en un conjunto de jugadores N (≠ N = n) y una asignación monetaria V(S) para cada subcoalición S N. El problema que se intenta resolver es: ¿Cómo distribuir la riqueza total V(N) entre todos los participantes? El valor de Shapley busca solucionarlo imponiendo ciertas condiciones a la distribución:
Si xi, i N, es la asignación que recibiría en la distribución de Shapley el jugador i, entonces


  1. (Eficiencia)


x1 + x2 + ...xn = V(N)
b) (Jugador “dummy” o fantasma) Si para algún iN, V(S{I}) = V (S) para toda coalición S, entonces xi = 0
c) (Simetría) Si las valoraciones de las coaliciones no cambian cuando se reemplaza un jugador por cualquier otro, entonces, todos reciben lo mismo. Es decir, x1 = ... = xn.

d) (Aditividad) Si V y W son dos valoraciones distintas sobre el mismo conjunto N de jugadores, entonces la asignación de cualquier jugador para la valoración V y para la valoración W es aditiva. Es decir, para todo i N, xi(V +W) = xi(V ) + xi(W)


Solo el valor de Shapley satisface estas cuatro condiciones. Y más aún, existe una fórmula explícita sobre cómo calcularlo, basada en las “contribuciones marginales” (es decir, una medida de cuánto un jugador le aporta a las coaliciones en donde está):

(*)
donde es el conjunto de los n! órdenes de N, Si(r) = conjunto de jugadores que preceden a i en el orden r, i(S) = V(S{I})\V(S)= contribución marginal del agente i a la coalición S.
Como un ejemplo de la “mejor” distribución total de la riqueza del juego entre los participantes que el valor de Shapley realiza, es fácil calcular (con la fórmula (*) de arriba) que en el juego del Pequeño Mercado que analizábamos antes, el valor de Shapley es
x1 = 2/3, x2 = 1/6, x3 = 1/6.
A diferencia del núcleo, cuya asignación es (1, 0, 0), el valor de Shapley sí está asignándole importancia a los compradores, aunque reconoce un poder mayor al vendedor.
IIa) Una muy importante categoría en el estudio de la teoría de juegos clásica es, realmente, una subdivisión de la teoría de juegos cooperativos: los modelos de negociación. En estos juegos, dos o más jugadores buscan ganar a través de la cooperación, pero deben negociar el procedimiento y la forma en que se dividirán las ganancias de esta cooperación. Un modelo de negociación específica: cómo y cuándo se alcanzan los acuerdos y cómo se dividirán las ganancias, dependiendo de las reglas de negociación y de las características de los negociadores.
JOHN NASH realizó contribuciones fundacionales a la teoría de juegos de negociación. En su artículo de 1950, The bargaining problem, se aparta radicalmente de la teoría económica ortodoxa que consideraba indeterminados los problemas de negociación. En contraste, Nash asume que la negociación entre agentes racionales conduce a un único resultado, y lo determina imponiéndole al modelo ciertas “propiedades deseables”. La formulación de NASH del problema de negociación y su solución (la solución de negociación de Nash) constituyen el fundamento de la teoría moderna de la negociación.
Para aclarar un tanto lo dicho arriba con una versión muy elemental del problema de negociación de Nash, supongamos que tenemos dos jugadores egoístas que buscan dividirse una cantidad de dinero M y que no están de acuerdo en que los dos no obtengan nada de la negociación, pero que si no llegan a un acuerdo, entonces sí les corresponderá “irse con las manos vacías”. JOHN NASH mostró que bajo ciertas condiciones plausibles, los dos jugadores acordarían la repartición (x1, x2) que maximiza, en este caso, el producto de las dos. Es decir, resuelven
http://www.scm.org.co/Articulos/735.pdf
Articulo de Sergio Monsalve Gómez

Universidad Nacional de Colombia


monsalvesergio@yahoo.com

smonsalveg@unal.edu.co





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