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John Allen Paulos


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El método de simulación de Montecarlo

John Allen Paulos

Sabemos que un determinado jugador de basquetbol encesta el 40 % de sus tiros. Si en un partido hace 20 tiros ¿cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 11 veces? Hay unos cálculos estándar que se pueden efectuar para saber la respuesta. También hay otro método que, aunque en este caso es opcional, a veces es el único modo de abordar el problema. En el caso planteado, supondría pedir al jugador que jugara rápidamente unos 10000 partidos para que pudiéramos determinar el porcentaje de veces en las que mete exactamente 11 canastas.

Aunque resulta evidentemente impracticable para un jugador humano de basquetbol, este método, llamado de Montecarlo, se puede realizar fácilmente en una computadora. Basta con pedir a la computadora que genere aleatoriamente un número comprendido entre 1 y 5, y que mire si dicho número es 1 ó 2. Como 2 es el 40% de 5, si sale 1 ó 2 lo interpretaremos como un acierto en la simulación de los tiros del jugador, mientras que si sale 3, 4 ó 5 lo interpretaremos como un fallo. Luego pediremos a la computadora que genere aleatoriamente 20 de tales números entre 1 y 5, y que mire si exactamente 11 de ellos son 1 ó 2. Si es así, lo interpretaremos como si el jugador simulado hubiera metido exactamente 11 canastas de 20 intentos cuando su porcentaje de aciertos es del 40%. Por último, pediremos a la computadora que realice este ejercicio 10000 veces y que cuente el número de veces en que exactamente 11 de los 20 intentos del jugador simulado en el partido se convierten en canastas. Si dividimos este número entre 10000 tendremos una muy buena aproximación de la probabilidad teórica en cuestión.

Para valorar la utilidad de la simulación es bueno realizar una por uno mismo. (No te preocupes si no tienes computadora, no hace falta, basta con una moneda) Imagina que un gobierno sexista de un cierto país te contrata como asesor. Acaba de adoptar una política que obliga a las parejas a tener hijos hasta que les nazca el primer varón, momento en el que habrán de cesar de procrear. Lo que quieren saber los gobernantes de ese país es: ¿cuántos hijos tendrá la familia media como resultado de esta política? y ¿cuál será la distribución de los sexos? En vez de hacer una recopilación de datos estadísticos, para lo cual tendrían que transcurrir años, uno puede lanzar una moneda un número suficientemente grande veces para tener una muestra que nos permita hacer una estimación. Si interpretamos el sol como hombre (H) y el águila como mujer (M), uno lanza la moneda hasta que sale el primer sol y apunta el número de lanzamientos, esto es el número de hijos de la familia. La sucesión MMH corresponde a dos mujeres seguidas de un hombre, H corresponde a un hijo único hombre, etc. Se repite este procedimiento 100 ó 1000 veces para producir 100 ó 1000 «familias» y se calcula el número medio de hijos de cada familia y la distribución de los sexos. Puede que tú, y también los funcionarios del país, encuentren sorprendente la respuesta.

La aplicación de los métodos de Montecarlo facilita mucho los estudios de los sistemas grandes, las situaciones que se dan en problemas de colas y planificación de horarios, y en fenómenos físicos, tecnológicos y matemáticos. Desde las rebajas de los grandes almacenes hasta los laboratorios de turbulencia en aeronáutica, todo el mundo hace simulaciones. Generar números aleatorios en una computadora y manejar luego las simulaciones probabilísticas basadas en ellos es más fácil y barato que tratar con los fenómenos aleatorios reales. La única advertencia es que no hay que olvidar que existe una clara diferencia entre el modelo y la simulación de un fenómeno y el fenómeno real propiamente dicho. No es lo mismo tener un hijo que lanzar una moneda.

En relación con esto es útil la siguiente representación esquemática de la simulación—y, hasta cierto punto, de la matemática aplicada en general—. El proceso puede dividirse en cinco estadios:




  • El primero es la identificación del fenómeno real que nos interesa,

  • a continuación, la creación de una versión idealizada de dicho fenómeno,

  • en tercer lugar, la construcción de un modelo matemático basado en dicha versión simplificada,

  • luego, la realización de una serie de operaciones matemáticas con el modelo para obtener predicciones y

  • por último, la comparación de estas predicciones con el fenómeno original para ver si concuerda. (Véase el artículo sobre La filosofía de la matemática.)

Muchas aplicaciones de la matemática son inmediatas, pero lamentablemente es muy fácil, especialmente en las ciencias sociales, confundir el modelo propio con la «realidad» y atribuir a esta última alguna propiedad que sólo existe en el modelo. He aquí un ejemplo simple tomado del álgebra elemental: Jorge puede realizar una tarea en 2 horas y Marta emplea 3 horas en realizar la misma tarea. ¿Cuánto tardarán trabajando los dos a la vez? La respuesta «correcta» de 1 hora y 12 minutos supone que, trabajando juntos, la presencia de uno no estorba ni estimula el trabajo del otro. En este caso, y en muchísimos otros, la certeza de las conclusiones matemáticas derivadas del modelo no siempre es extensiva a las suposiciones, simplificaciones y datos que uno ha empleado en la construcción del modelo. Éstos no se dejan manejar bien, son nebulosos y totalmente falibles, a pesar de las afirmaciones, fastidiosamente autosuficientes a veces, de sociólogos, psicólogos y economistas. Al igual que la señora Brown, la mujer perfectamente ordinaria de Virginia Woolf, la realidad es infinitamente compleja e imposible de captar por completo en ningún modelo matemático.




John Allen Paulos: ‘El método de simulación de Montecarlo’

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