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Forma cánonica de jordan de una matriz


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Matemáticas I – Matrices de Jordan



FORMA CÁNONICA DE JORDAN DE UNA MATRIZ

Comenzaremos esta lección intentando diagonalizar por semejanza una matriz A que no es diagonalizable y veremos como obtener una matriz J semejante a A lo más parecida posible a una matriz diagonal.


Ejemplo: Consideremos la siguiente matriz 33




  • Autovalores de A: el polinomio característico de A es

entonces los autovalores son con multiplicidad y con multiplicidad .




  • Autoespacio asociado a :

Como , basta encontrar un vector en este autoespacio para tener una base, por ejemplo . Así, .


  • Autoespacio asociado a :

Así , luego la matriz A no es diagonalizable.




  • Segundo autoespacio asociado a :

Obsérvese que y que. Entonces vamos a buscar una base de este segundo espacio que contenga un vector del primero, como sigue:

► Elegimos un vector cualquiera , por ejemplo .

Sea ahora , luego

Entonces, es una base de , y además .


Luego la matriz asociada a f en la base B’ es:




A la matriz J la llamamos forma canónica de Jordan de A y a la matriz

formada por los vectores de B’ la llamaremos matriz del cambio de base.


Ejercicio: Comprobar que A y J son efectivamente semejantes vía P; es decir, .
Obsérvese que la matriz J se diferencia de una matriz diagonal en que contiene algún 1 en la línea por encima de la diagonal. Pasemos ahora a describir formalmente las matrices de este tipo conocidas conmo matrices de Jordan.
Matrices de Jordan:

  • Caja elemental de Jordan de orden k correspondiente al autovalor ℂ): es una matriz que contiene el valor en todas las posiciones de la diagonal y el valor 1 en todas las posiciones encima de la diagonal; es decir, inductivamente estas matrices se construyen como sigue:



  • Matriz de Jordan: una matriz de Jordan es cualquier matriz cuadrada formada por yuxtaposición de cajas elementales de Jordan a lo largo de la diagonal y el resto ceros; es decir, es cualquier matriz cuadrada formada por ceros en todas las posiciones, excepto en la diagonal donde puede contener otros valores y las posiciones encima de la diagonal que pueden ser ceros o unos.




  • Ejemplos: Las siguientes son matrices de Jordan:


ç


  • Teorema de clasificación de Jordan: Toda matriz cuadrada (real o compleja) es semejante a una matriz de Jordan (compleja), y ésta es única salvo permutación de las cajas elementales de Jordan que la componen.




1er Curso – 1er Cuatrimestre /



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