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Estadística y matemática aplicada


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Curso: 2002-2003

Centro: ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR

Estudios: INGENIERÍA TÉCNICA EN HORTOFRUTICULTURA Y JARDINERÍA.

INGENIERÍA TÉCNICA EN EXPLOTACIONES AGROPECUARIAS.

INGENIERÍA TÉCNICA EN INDUSTRIAS AGRARIAS Y ALIMENTARIAS.

INGENIERÍA TÉCNICA EN MECANIZACIÓN Y CONSTRUCCIONES RURALES

Asignatura: MATEMÁTICAS

Código: 2520101, 2620101, 2720101, 2820101

Ciclo: 1º

Curso: 1º

Cuatrimestre: ANUAL

Carácter: TRONCAL

Créditos teóri.: 6

Créditos práct.: 7.5

Profesores: MANUEL GÁMEZ CÁMARA

PEDRO LÓPEZ ARTÉS

PEDRO MARTÍNEZ GONZÁLEZ

JOSÉ ANTONIO RODRÍGUEZ LALLENA

JOAQUÍN SÁNCHEZ LARA

BERNARDA SOLER ARIAS

JOSÉ CACERES GONZÁLEZ

MARÍA LUZ PUERTAS GONZÁLEZ

MANUEL ÚBEDA FLORES

Área: MATEMÁTICA APLICADA

Departamento: ESTADÍSTICA Y MATEMÁTICA APLICADA

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I. TEMARIO

Tema 1. Introducción: números reales y números complejos; espacio euclídeo.


1. El conjunto  de los números reales. Principales subconjuntos de . Sucesiones de números reales. Principio de inducción. Introducción a la topología de . El axioma del supremo. El valor absoluto: propiedades.

2. Números complejos. Operaciones. Módulo y argumento. Conjugado.

3. Espacio euclídeo n-dimensional: definición y operaciones. Norma y distancia en n. Ortogonalidad. Producto vectorial en 3. Rectas y planos en 2 y 3. Introducción a la topología de n.

TEMA 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices y determinantes.


1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices: definiciones.

2. Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Matrices escalonadas. Método de Gauss. Rango de una matriz. Teorema de Rouché-Fröbenius.

3. Operaciones con matrices. Inversa de una matriz cuadrada. Potencia entera de una matriz cuadrada. Matriz transpuesta.

4. Caracterizaciones de la inversibilidad. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada.

5. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades.

6. Matriz adjunta. Obtención de la inversa de una matriz mediante adjuntos. Regla de Cramer.

Tema 3. Funciones: límites y continuidad.
1. Funciones reales de variable real. Operaciones con funciones. Inversa de una función inyectiva. Principales ejemplos de funciones. Funciones monótonas. Funciones acotadas. Extremos locales y globales.

2. Funciones de variable compleja: la exponencial compleja.

3. Funciones reales de varias variables. Curvas y superficies de nivel. Operaciones. Extremos locales y globales.

4. Funciones vectoriales. Curvas y superficies de nivel. Operaciones.

5. Límites de sucesiones de números reales. Límite de una función real de una variable en un punto. Límites laterales. Límites infinitos. Límites en el infinito. Algunos teoremas para el cálculo de límites.

6. Límite de una función real de varias variables en un punto. Límites en el infinito. Límites de funciones vectoriales en un punto.

7. Continuidad de funciones. Tipos de discontinuidades. Álgebra de funciones continuas. Principales ejemplos de funciones continuas. Teoremas fundamentales de las funciones continuas. Método de bisección. Cálculo de límites.

Tema 4. Derivación.


1. Recta tangente a la gráfica de una función real de una variable: funciones derivables. Recta tangente a la gráfica de una función real de dos variables en una dirección dada: derivadas parciales y derivadas direccionales. Generalización del concepto a cualquier número de variables. Vector gradiente. Derivación de funciones vectoriales. Matriz gradiente. Derivación y continuidad. Derivadas de orden superior. Teorema de Schwarz.

2. Cálculo de derivadas (simples o parciales). Regla de la cadena. Para funciones reales de una variable: teorema de la función inversa; derivación logarítmica. Derivación implícita.

3. Teoremas de Rolle y del valor medio: consecuencias.

4. Reglas de L’Hôpital. Aplicaciones.

5. El teorema de Taylor para funciones de una variable.

6. Estudio de la monotonía y de los extremos (locales y globales) de una función real de variable real.

7. Localización de los ceros de una función real de variable real. Aproximación de las soluciones de una ecuación mediante el método de Newton-Raphson.

8. Estudio de la concavidad y convexidad de funciones reales de una o varias variables.

9. Cálculo de extremos en funciones de varias variables. Aplicaciones: aproximación por mínimos cuadrados.

Tema 5. Integración.


1. El problema inverso de la derivación. Primitivas de funciones reales de una y varias variables. Métodos exactos de cálculo.

2. El problema del cálculo de áreas y de volúmenes. Sumas de Riemann e integral definida sobre intervalos, rectángulos y n-cajas, n  3. Integración sobre conjuntos acotados. Propiedades básicas. Ejemplos de funciones integrables.

3. Teoremas fundamentales del cálculo infinitesimal para funciones reales de variable real.

4. Integración múltiple. Cambio de variable. Coordenadas polares. Coordenadas cilíndricas y esféricas.

5. Integración impropia.

6. Aplicaciones de la integración al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes.

7. Métodos de integración numérica para funciones reales de variable real. Método de los trapecios. Método de Simpson.

TEMA 6. Espacios vectoriales.


1. Espacios vectoriales. Ejemplos: espacio euclídeo, espacios de matrices, espacios de polinomios y espacios de funciones.

2. Subespacios vectoriales. Generadores.

3. Independencia lineal: caracterizaciones y otras propiedades.

4. Base de un espacio vectorial. Coordenadas respecto de una base. Cambio de base. Dimensión de un espacio vectorial. Obtención de bases.

5. Subespacios generados por las filas o columnas de una matriz. Aplicaciones a matrices cuadradas.

6. Aplicaciones lineales. Propiedades. Núcleo e imagen de una aplicación lineal. Teorema de la dimensión. Matriz asociada a una aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita.

7. Vectores y valores propios de una matriz cuadrada. Ecuación característica.

8. Diagonalización de matrices. Aplicaciones.

TEMA 7. Ecuaciones en diferencias y ecuaciones diferenciales ordinarias.
1. Ecuaciones en diferencias: ecuaciones en diferencias lineales de primer y de segundo orden.

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Existencia y unicidad de solución.

3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: ecuaciones en variables separadas, ecuaciones homogéneas, ecuaciones lineales, ecuaciones de Bernoulli y ecuaciones exactas.

4. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, el caso homogéneo: conjunto fundamental de soluciones; ecuaciones con coeficientes constantes. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, el caso no homogéneo: método de variación de parámetros y método de los coeficientes indeterminados.

5. Métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias: métodos de Euler, de Euler modificado y de Runge-Kutta.

6. Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

7. Aplicaciones al estudio de sistemas dinámicos, en especial a la dinámica de poblaciones.

TEMA 8. Curvas y superficies parametrizadas.


1.Curvas en n. Parametrizaciones. Orientaciones. Curvas regulares a trozos.

2. Vectores tangentes y normales a curvas: aplicaciones. Longitud de una curva.

3. Caracterización de la definición de conjunto conexo de n. Definición de conjunto convexo de n.

4. Direcciones y trayectorias de máximo crecimiento o decrecimiento de una función real de varias variables, y su relación con los conjuntos de nivel. Aplicaciones.

5. Superficies en n. Parametrizaciones.

6. Puntos regulares de una superficie parametrizada. Planos tangentes y rectas normales a superficies.

7. Superficies regulares. Superficies regulares a trozos. Superficies suaves. Superficies suaves a trozos. Superficies orientables. Área de una superficie.

TEMA 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea y de supeficie.


1. Campos escalares y campos vectoriales. Líneas de flujo de un campo vectorial.

2. Rotacional y divergencia de un campo vectorial. Gradiente y laplaciano de un campo escalar.

3. Integrales de campos escalares sobre curvas y superficies. Aplicaciones.

4. Integrales de campos vectoriales sobre curvas y superficies. Aplicaciones.

5. Campos vectoriales conservativos: independencia del camino. Teoremas fundamentales del Cálculo para integrales de línea. Criterios para determinar si un campo vectorial es conservativo o no. Obtención del potencial de un campo conservativo. Aplicaciones.

6. Teoremas de Green, de Stokes y de Gauss (o de la divergencia). Aplicaciones.



II. BIBLIOGRAFÍA
ANTON, HOWARD. Introducción al Algebra Lineal, 3ª edición. Limusa.

APOSTOL, TOM M. Calculus (2 volúmenes), 2ª edición. Reverté.

AYRES, F.; MENDELSON, E. Cálculo Diferencial e Integral, 3ª edición. McGraw-Hill.

BRADLEY, G. L.; SMITH, K. J. Cálculo (2 volúmenes). Prentice Hall.

BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análisis Numérico, 3ª edición. Grupo Editorial Iberoamérica.

BURGOS, JUAN DE. Cálculo infinitesimal de una variable. McGraw-Hill.

DAVIS, H. F.; SNIDER, A. D. Análisis vectorial, 6ª edición. McGraw-Hill.

GARCÍA, ALFONSA; LÓPEZ, ANTONIO; RODRÍGUEZ, GERARDO; ROMERO, SIXTO; VILLA, AGUSTÍN DE LA. Cálculo (2 volúmenes). CLAGSA.

GROSSMAN, STANLEY. I. Álgebra lineal, 5ª edición. McGraw-Hill.

LARSON, R. E.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo (2 volúmenes). 6ª edición. McGraw-Hill.

LIPSCHUTZ, SEYMOUR. Álgebra lineal, 2ª edición. McGraw-Hill.

MARSDEN, J. E.; TROMBA, A. J. Cálculo vectorial, 3ª edición. Addison-Wesley Iberoamericana.

MARSDEN, J. E.; TROMBA, A. J. Cálculo vectorial. Problemas resueltos. 3ª edición. Addison-Wesley Iberoamericana.

PISKUNOV, N. Cálculo diferencial e integral (2 volúmenes). 6ª edición. Mir.

PITA RUIZ, C. Cálculo vectorial. Prentice Hall.

SALAS, S. L.; HILLE, EINAR. Calculus (2 volúmenes). 3ª edición. Reverté.

SMITH, ROBERT T.; MINTON, ROLAND, B. Cálculo (2 volúmenes). McGraw-Hill.

SPIVAK, MICHAEL. Calculus, 2ª edición. Reverté.




III. EVALUACIÓN
La evaluación se realizará fundamentalmente mediante un examen escrito, constituido principalmente por problemas. En lo posible se realizará algún examen parcial.



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