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Estadistica II de cir escrito por carlos ivan restrepo el libro en su totalidad esta en cd. Donde encontraras ejercicio de profundizaci


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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR

TOMO 1

COMPULIBRO

ESTADISTICA II DE CIR

ESCRITO POR CARLOS IVAN RESTREPO

EL LIBRO EN SU TOTALIDAD ESTA EN CD. DONDE ENCONTRARAS EJERCICIO DE PROFUNDIZACION

SI DESEAS EL CD LLAMAR AL 3006096633 O ESCRIBIR AL CORREO CAIVAR@HOTMAIL.COM

AGRADESCO PRIMERO A DIOS A MI ESPOSA HIJOS Y NIETOS QUE ME BRINDAN EL ESPACIO DE DEDICARLE HORAS A LO QUE MAS ME GUSTA QUE ES TRANSMITIR POR ESCRITO

LO APRENDIDIO A TRAVES DE MIS AÑOS DE ENSEÑANZA DE LA ESTADISTICA

CONTENIDO

LA IMPORTANCIA DE LA ESTADISTICA 6

CAPITULO 1 7

RESUMEN 7

FUNDAMENTOS DEL AREA DE MODELOS PROBABILISTICOS 7

COMPETENCIAS)Y)HABILIDADES)SOCIALES 9

1) COMPETENCIAS)ESPECÍFICAS 9

2) COMPETENCIAS)TRANSVERSALES 9

HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA Y LA PROBABILIDAD 9

TOMA DE DESICIONES 10

TEORIA DE PROBABILIDADES 10

TIPOS DE PROBABILIDAES 12

APLICACIONES 12

ELEMENTOS DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA 13

DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA 13

POBLACION 13

INDIVIDUO 13

MUESTRA 13

MUESTREO 14

VALOR 14


DATO 14

DEFINICIÓN DE VARIABLE 14

VARIABLE CUALITATIVA 14

VARIABLE CUALITATIVA NOMINAL 14

VARIABLE CUALITATIVA ORDINAL 14

VARIABLE CUANTITATIVA 15

a) VARIABLE DISCRETA 15

b) VARIABLE CONTINÚA 15

PRUEBA DE STURGES 15

FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL 17

VARIACIONES 17

VARIACIONES CON REPETICIÓN 18

PERMUTACIONES 18

PERMUTACIONES CON REPITICION 19

COMBINACIONES 20

COMBINACIONES CON REPETICIÓN 21

ELEMENTOS DE PROBABILIDAD 22

ZONA DE EJEMPLOS 23

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO 1 32

CAPITULO II 42

DISTRIBUCIONES 43

I)   LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: B(n, p) 43

ELEMENTOS DE ESTADISTICA PARA RESOLVER PRO 48

II)  DISTRIBUCIÓN  DE  POISSON 49

III)DISTRIBUCION MULTINOMIAL 54

IV) DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA 55

V)  DISTRIBUCION NORMAL 59

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 60

VI) DISTRIBUCION GEOMETRICA 64

VII) DISTRIBUCION EXPONENCIAL 67

FUNCIÓN DE DENSIDAD O LEY DE PROBABILIDAD 70

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN 71

DISTRIBUCIÓN UNIFORME 76

DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA 77

DISTRIBUCIÓN T STUDENT 78

OTRAS DISTRIBUCIONES 80

1) DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY 80

2) DISTRIBUCIÓN ERLANG 80

3) DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE 81

4). DISTRIBUCIÓN DE PARETO 82

5.).DISTRIBUCIÓN LOGÍSTICA 82

6) DISTRIBUCIÓN DE GUMBEL 83

7)   DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH 83

8) DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL 84

9) DISTRIBUCIÓN BETA 84

EJERCICIOS DE REPASO CAPITULO II 85

CAPITULO III 99

ERROR MUESTRAL 99

ESTIMACION 100

ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN 102

LONGITUD DEL INTERVALO DE CONFIANZA 107

MUESTREO 107

LA ENCUESTA 108

TIPOS DE ENCUESTAS 108

TIPOS DE PREGUNTA 109

REGLAS PARA LA ELABORACION DE UN CUESTIONARIO 110

 LA ENTREVISTA 110

TIPOS DE MUESTREO 111

I. MUESTREO PROBABILÍSTICO 111

2. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE 111

3. MUESTREO ALEATORIO SIN REPOSICIÓN 112

4. MUESTREO ALEATORIO CON REPOSICIÓN 113

5. MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO 114

6. MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO 115

7. MUESTREO POR CONGLOMERADO 115

II MUESTREO NO PRIOBABILISTICO 115

1.- MUESTREO POR CUOTAS 116

2.- MUESTREO INTENCIONAL O DE CONVENIENCIA 117

3.- BOLA DE NIEVE: 117

TAMAÑO DE MUESTRA 117

CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA DE BASE 120

DISTRIBUCIONES MUESTRALES 122

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL 125

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS 126

VALOR ESPERADO 129

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA CON ó2 DESCONOCIDA 131

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN 131

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIA DE MEDIAS 133

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIA DE PROPORCIONES 136

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE NÚMERO DE DEFECTOS 144

EJERCICIO DE REPASO CAPITULO III 148

LINKGRAFIA 161

LA IMPORTANCIA DE LA ESTADISTICA

Se mostrara a través del libro la importancia de la estadística a través de grandes frases sobre ella como se presenta a continuación.

Una única muerte es una tragedia, un millón de muertes es una estadística.

Josef Stalin

En estadística, lo que desaparece detrás de los números es la muerte.

Günter Grass

Democracia: es una superstición muy difundida, un abuso de la estadística.

Jorge Luis Borges

La esencia de la vida es la improbabilidad estadística a escala colosal.

Richard Dawkins

La falacia del cuadro estadístico estriba en que es unilateral, en la medida en que representa sólo el aspecto promedio de la realidad y excluye el cuadro total. La concepción estadística del mundo es una mera abstracción, y es incluso falaz, en particular cuando atañe a la psicología del hombre.

Carl Jung

Conseguimos obtener así la fórmula estadística para conocer aproximadamente la posición de un eléctron en un instante determinado. Pero, personalmente, no creo que dios juegue a los dados.

Albert Einstein

CAPITULO I

ESTE CAPITULO TIENE COMO OBJETIVO ELEMENTOS QUE DEBEMOS APLICAR EN EL CURSO

ASPECTOS GENERALES

DE QUE TRATA EL CURSO

RESUMEN

Se describe una propuesta didáctica de enseñanza contextualizada partiendo de que el estudiante debe conocer elementos de estadística inferencial como el concepto de probabilidades, propiedades y teorema total y de bayes y con uso del programa g STAT STUDENT de las distribuciones muéstrales, aplicación de pruebas de hipótesis y a las técnicas de regresión en el aula de estadística para ingenieros de segundo año universitario extendido a cualquier otra carrera. Apropiándonos de la teoría de las funciones semióticas, desarrollada en la Universidad de LA UNIDAD CENTRAL DEL VALLE, caracterizamos los elementos de signi cado de las propiedades importantes de las distribuciones muéstrales y evaluamos, mediante campos de problemas algebraicos y de simulación, los errores o di cultades que los alumnos ponen de manifestó en las aplicaciones de simulación de procesos en las ciencias de la ingeniería. Como consecuencia, al considerar los elementos de signi cado adquiridos en las respuestas de los estudiantes, proponemos la simulación para muestras pequeñas y grandes de forma intuitiva, como primer acercamiento del alumno hacia la construcción del signi cado de las distribuciones muéstrales, usando el lenguaje grá cos con apoyo del computador, para posteriormente analizar con los estudiantes su forma algebraica según la naturaleza de las variables aleatorias contando para esto con una página base para desarrollar sus dudas llamada de vitutor.



Palabras clave: Enseñanza y aprendizaje de la estadística, distribuciones muéstrales, regresiones signi cado y comprensión, simulación.

ALERTA : SIEMPRE QUE ENCUENTRES ESTA IMAGEN TE PIDES QUE TERMNES EL EJEMPLO DADO

FUNDAMENTOS DEL AREA DE MODELOS PROBABILISTICOS

Se describe el marco teórico empleado, que ha situado los elementos de signi cado institucional y personal de LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL, PRUEBAS DE HIPOTESIS , DE ANALISIS DE MUESTREO DE REGRESIONES LINEALES Y NO LINEALES Y LAS IMPLICACIONES DE LOS NUMEROS INDICES y a continuación alguna investigaciones previas relacionadas con sus propiedades y la simulación en ingeniería.

Significado y comprensión de la distribución y als aplicaciones de la regresiones lineales y no lineales, el análisis de las covarianzas de los números índices e asumen como una actividad humana implicada en la solución de cierta clase de situaciones problemáticas de la cual emergen y evolucionan progresivamente los objetos matemáticos. Se pretende elaborar un modelo de los procesos de comprensión de las matemáticas que tenga en cuenta los factores institucionales y socioculturales implicados en los mismos. El autor considera diferentes entidades primarias como constituyentes del signi cado de un objeto matemático (por ejemplo), que son las que se analizan en este trabajo:

Problemas y situaciones que inducen actividades matemáticas y definen el campo de problemas asociado al objeto.

b) Procedimientos, algoritmos, operaciones. Cuando un sujeto se enfrenta a un problema y trata de resolverlo, realiza distintos tipos de prácticas, que llegan a convertirse con el tiempo en objeto de enseñanza.

c) Representaciones materiales utilizadas en la actividad de resolución de problemas (términos, expresiones, símbolos, tablas, grá cos).

d) Abstracciones (conceptos, proposiciones). Las de niciones y propiedades características del objeto y sus relaciones con otros conceptos.

e) Demostraciones que empleamos para probar sus propiedades y que llegan a formar parte de su signi cado.

Objetivos)generales.

El)alumno)debe:

Conocer) y) aplicar) correctamente) los) procedimientos) de) análisis) de) datos que mas habitualmente son)utilizados)en)el)proceso)de)obtención)de)información)científica)en)el)ámbito)de la ingeniería.

Identificar) la) cuestión) planteada) y) formularla) en) términos) de) hipótesis)científicas.

Gestionar) bases) de) datos) informatizadas: ) Organizar, ) introducir) y) procesar)los)datos)correctamente.

Seleccionar) las) técnicas) más) adecuadas) para) responder) a) las) cuestiones planteadas considerando las características de los datos, ) con)que)se)opera.

Realizar)los)cálculos)mediante)ordenador.

Interpretar)los)resultados)y)extraer)las)conclusiones

COMPETENCIAS)Y)HABILIDADES)SOCIALES.

1) COMPETENCIAS)ESPECÍFICAS.

a) Competencia)número)1:) Conocer) los) principios) del) método) científico) y) las)características) de) los) diferentes) métodos) utilizados) en)en el área de las ingenierías )y)sus)técnicas)de)análisis.

b) Competencia)número)2:) Ser))capaz)de)aplicar)el)conocimiento)metodológico)para)resolver) los) problemas) planteados) en) la) práctica)profesional.

c) Competencia)número)3:) Ser) capaz) de) analizar) datos) psicológicos) mediante)programas) estadísticos) y) otras) tecnologías) de) la)información.

d) Competencia)número)4:) Ser) capaz) de) interpretar,) valorar) críticamente) y)comunicar)los)resultados)de)la)evidencia)empírica.

2) COMPETENCIAS)TRANSVERSALES.

a) Desarrollar) habilidades) de) expresión) oral) y) escrita) encaminadas) a) realizar) y)presentar)en)público)informes)científicos.

b) Trabajar)en)grupo)(a)desarrollar)en)las)prácticas)con)ordenador).

c) Búsqueda)de)fuentes)bibliográficas)y)documentación.

HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA Y LA PROBABILIDAD

Se dice en el mundo de la arqueología que la presencia del hueso astrágalo de oveja o ciervo en las excavaciones arqueológicas más antiguas, parece confirmar que los juegos de azar tienen una antigüedad de más de 40.000 años, y la utilización del astrágalo en culturas más recientes, ha sido ampliamente documentada. Pero no solo esa es una señal de la antigüedad de los juegos de azar, pues aquellos que han tenido la ocasión de visitar las pirámides de Egipto han podido detallar pinturas que muestran juegos de azar que datan del año 3.500 a. C. y Herodoto se refiere a la popularidad y difusión en su época de los juegos de azar, especialmente la tirada de astrágalos y dados. Los dados más antiguos se remontan a unos 3000 años antes de Cristo y se utilizaron en el juego como en ceremonias religiosas.

Todo lo anterior conlleva a pensar que las civilizaciones antiguas, explicaban el azar mediante la voluntad divina como se puede apreciar en la civilización griega o romana que utilizaban la configuración resultante de tirar cuatro dados para predecir el futuro y revelar la voluntad favorable o desfavorable de los dioses. Pero no únicamente los griegos o los romanaos realizaban prácticas de juego de azar también se encontraron prácticas similares en culturas tan distintas como la tibetana, la india o la judía..

A medida que transcurre el tiempo y el cambios de periodos de la civilización, en unos de esos periodos llamado renacimiento aparece un nuevo enfoque global de considerar al mundo, desde la perspectiva de un abandono progresivo de explicaciones teológicas los cuales conduce a una reconsideración de los experimentos aleatorios; y los matemáticos italianos del siglo XVI, comienzan a interpretar los resultados de experimentos aleatorios simples. Cardano, establece la equiprobabilidad de aparición de las caras de un dado a largo plazo yes asi como a finales del siglo XVI, existía un intuitivo pero preciso análisis empírico de los resultados aleatorios que conllevo a el desarrollo del análisis matemático de los juegos de azar se produce lentamente durante los siglos XVI y XVII, y algunos autores consideran como origen del cálculo de probabilidades la resolución del problema de los puntos en la correspondencia entre Pascal y Fermat en 165 lo que hace consolidar el cálculo de probabilidades como disciplina independiente en el período que transcurre desde la segunda mitad del siglo XVII hasta comienzos del siglo XVIII donde la teoría de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de juego y con el tiempo a otros problemas socioeconómicos.

Pero es precisamente en el siglo XVIII que el cálculo de probabilidades se extiende a problemas físicos y actuariales (seguros marítimos) siendo este el principal impulsor de la astronomía y física donde surgen problemas ligados a la contrastación empírica de la teoría de Newton donde sus investigaciones toman gran importancia en el desarrollo de la Estadística.

Ya en el siglo XX nace la industria de los seguros, la cual requería de un conocimiento exacto del riesgo de perder pues de lo contrario no se podían calcular las pólizas lo que llevo muchos años después a que se incluyera en muchos centros de enseñanza, ele estudios de las probabilidades como un instrumento que les permitiría entender los fenómenos sociales que permitiera comparar con exactitud los datos observados con la teoría requería un tratamiento riguroso del mismo, que va a dar lugar a la teoría de errores.

Debido a esto aparecen matemáticos como D. Bernoulli, Abraham de Moivre, el reverendo Thomas Bayes y Joseph Lagrange inventaron fórmulas y técnicas de probabilidad y en una de esas formula Bernouilli proporciona la primera solución al problema de estimar una cantidad desconocida a partir de un conjunto de mediciones de su valor que, por el error experimental, presentan variabilidad. Fue pionero en la aplicación del cálculo infinitesimal al cálculo de probabilidades.

Pero no únicamente los matemáticos mencionados anteriormente trabajaron en el área de las probabilidades existieron otros como Pierre Simon, Marqués de Laplace quien indujo la primera definición explícita de probabilidad y desarrolló la ley normal como modelo para describir la variabilidad de los errores de medida; también formuló y estimó el primer modelo explicativo estadístico y donde Gauss hace su aporte con respecto a la estimación de modelos estadísticos.

Continuando con esta lista encontramos, geólogo y astrónomo Bravais, que es el primero en considerar la relación entre errores de medida dependientes entre sí; a Benjamín Pierce que establece el primer criterio para rechazar observaciones heterogéneas con el resto , y en el siglo xix aparece , el más famoso astrónomo americano llamado S. Newcomb que el que l introduce los primeros métodos de estimación cuando hay errores fuertes en algunos datos (Estimación Robusta).

TOMA DE DECISIONES

Hoy por hoy la teoría matemática de la probabilidad constituye el fundamento de las aplicaciones estadísticas tanto en la investigación científica, económica, social, ingenieril como aspecto fundamental de la toma de decisiones la cual e hace que vivamos en un mundo inestable donde somos incapaces de pronosticar el futuro con absoluta certeza a pesar de los avances tecnológicos y donde la necesidad de sortear la incertidumbre nos lleva a estudiar y aplicar la teoría de la probabilidad.

El concepto de la probabilidad pasa por la cabeza de cualquier ciudadano y con algún conocimiento sobre los posibles resultados de una decisión. que nos permita reconocer nuestras suposiciones, de tal manera que podamos comunicar a otros nuestro razonamiento y tomar una decisión más inteligente de la que lograríamos recurriendo a un método que no sea científico.

Pero en un mundo globalizado donde los perfiles de los hombres son tan diferente ya que encontramos el hombre de negocios, el jugador de póquer o el estratega militar, etc. que deben tomar decisiones en condiciones de incertidumbre con respecto al futuro y para ello debe relacionar una probabilidad numérica con cada evento posible que pueda influir en el resultado de sus decisiones, y que el tener éxito que tenga en la toma de decisiones, estará enlazada a la capacidad de tratar sistemáticamente con la incertidumbre misma mediante cuidadosas evaluaciones y aplicaciones de métodos estadísticos concernientes a las actividades de los negocios.

LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Cuando se hable de probabilidad lo primero que debemos pensar es que la probabilidad está relacionada con un evento numérico comprendido entre 0 y 1, el cual representa el riesgo o la posibilidad de que ocurra ese evento. Una probabilidad de (P = 0) significa que el evento es imposible ; si P = 0.50, es tan probable que el evento ocurra como que no ocurra; si P = 1, es seguro que suceda.

Un aspecto importante es que el valor de P no puede ser negativo ni mayor que uno y además se puede considerar que la probabilidad es la frecuencia relativa de "éxitos" o aciertos (es decir, la ocurrencia de un evento determinado) en un proceso aleatorio en que se ha repetido un gran número de pruebas o ensayos. La frecuencia relativa es el número de "éxitos" dividido entre el número de pruebas efectuadas.

FUENTES DE PROBABILIDADES

Es posible estimar probabilidades mediante cualquiera de las tres siguientes maneras alternativas:

Frecuencia relativa de eventos pasados. Las probabilidades pueden estimarse a partir de las frecuencias relativas que se observen en un experimento controlado, o mediante muestreo de un universo grande y finito. La probabilidad a priori (previa) se deduce de la experiencia obtenida de la observación prolongada.

Donde las probabilidades de eventos complicados pueden determinarse a partir de las probabilidades de eventos más sencillos, por medio de un método de simulación, utilizando un modelo experimental diseñado para representar las condiciones reales del mismo.

Distribuciones teóricas. Las probabilidades pueden determinarse sin recurrir a las frecuencias relativas. Estas probabilidades pueden determinarse a partir de la distribución binomial, sin recurrir a experimentos o muestras basadas en la experiencia pasada. La validez de dichas distribuciones teóricas depende de cuán fielmente las hipótesis representen la realidad.

Apreciación subjetiva. Si ninguno de los métodos anteriormente mencionados pueden utilizarse, el responsable de la toma de decisiones debe estimar las probabilidades en base a su juicio o criterio y experiencia. Una probabilidad subjetiva es una evaluación que una persona que toma decisiones hace acerca de la vero ¨C similitud relativa de que ocurra un evento incierto, o sea, representa las "apuestas" que se hacen sobre la concurrencia de ese evento. Tales apreciaciones son sumamente personales y, por lo tanto, dos individuos pueden asignar diferentes probabilidades subjetivas al mismo evento.

TIPOS DE PROBABILIDADES

Probabilidad simple. Probabilidad de que el dato escogido tenga una característica.

Probabilidad conjunta. Probabilidad de escoger un dato con dos (o más) características específicas.

Probabilidad marginal (al margen de la tabla). No es más que la probabilidad simple, vista con otro enfoque; o sea, mientras que la probabilidad simple es un concepto singular, la probabilidad marginal es esencialmente una suma de probabilidades conjuntas.

Probabilidad condicional. La característica específica del dato es la condición (condiciona la probabilidad).

APLICACIONES

En estos tiempos modernos hace que la complejidad de los negocios en los últimos años, ha incrementado el uso de la estadística para tomar decisiones en cualquier nivel de la administración.

Las aplicaciones de métodos estadísticos en las diferentes áreas son numerosas; por ejemplo: gráficas y tablas estadísticas son usadas frecuentemente por gerentes de ventas para representar hechos numéricos de ventas; métodos de muestreo son empleados por investigadores de mercado, al hacer encuestas sobre las preferencias del consumidor sobre ciertas marcas de artículos competitivos; métodos de control de calidad, aplicados en producción, etc.1

RECORDEMOS

ELEMENTOS DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA

DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

Recogida de datos.

Organización y representación de datos.

Análisis de datos.

Obtención de conclusiones.

Conceptos de Estadística

POBLACIÓN

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

INDIVIDUO

Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

MUESTRA

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.



MUESTREO

El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.

VALOR

Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y sello.



DATO

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

DEFINICIÓN DE VARIABLE

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

Tipos de variable estadísticas

VARIABLE CUALITATIVA

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

VARIABLE CUALITATIVA NOMINAL

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

VARIABLE CUALITATIVA ORDINAL O VARIABLE CUASICUANTITATIVA

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden. Por ejemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º,...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

VARIABLE CUANTITATIVA

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

a) VARIABLE DISCRETA

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo:

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

b) VARIABLE CONTINÚA

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo:

  1   2   3   4   5   6   7   8   9


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