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ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE IBAGUE

AREAS DE PEDAGOGÍA Y MATEMATICAS

Ponencia al 2° Congreso Internacional de Matemática y 4° Departamental

INEM, Ibagué Septiembre 17-20 de 2003
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA LA INDUCCIÓN AL CONCEPTO DE ÁREA

Jorge Lorenzo Sánchez Irreño. Jorlosa @htomail.com


Ivonne López Rincón. Ilorin55@yahoo.com

Docentes Escuela Normal Superior de Ibagué


El presente trabajo, hace parte de un proceso de reflexión pedagógica que se viene realizando en la Escuela Normal Superior de Ibagué; y en la búsqueda de estrategias apropiadas en didáctica de la matemática. Se inicia con la investigación del concepto de área presente en los estudiantes de ésta institución, encontrándose que el 96.43% de los encuestados, entre los grados 4° y 11° presentan dificultades en la conceptualizacion de área. En el presente se plantean posibles alternativas de solución para abordar la temática a partir de situaciones problémicas.
El rol del docente en el aula, en este momento, es de investigador y orientador de procesos que permitan construir conceptos, antes que mecanizar el formalismo simbólico y algorítmico de las matemáticas.
Es así como a partir de una investigación del concepto de área que poseen los estudiantes, se inicia el diseño de unas actividades que permitan al estudiante de primaria un acercarse al concepto e área.
En investigación realizada por el profesor Jorge Lorenzo Sánchez, (ampliada en Cuadernos de investigación 1. Programa de Formación Docente Ciclo Complementario. Escuela Normal Superior De Ibagué (2003)): Se aplicó el siguiente ejercicio problémico, previa explicación del objetivo pedagógico del ejercicio por estudiantes del ciclo complementario, a 8 de 42 cursos (un curso por grado) y de cuarto a once grado de la ENSI (320 estudiantes)

Escuela Normal Superior de Ibagué
Grado ......................... Edad ............................... Sexo ..........................
Si un centímetro cuadrado (cm2) es una figura cuadrada, que mide por cada lado un centímetro (cm), represente gráficamente:


  1. Un centímetro cuadrado (1cm2)

  2. Dos centímetros cuadrados (2cm2)

  3. Tres centímetros cuadrados (3cm2)

Como resultado se obtuvo una gran variedad de respuestas que divergen de un concepto geométricamente aceptable. Dichas concepciones sé categorizar así:


Categoría 1: Se ubican los estudiantes que no respondieron

Categoría 2. Se ubican los estudiantes que como característica común todos utilizaron en algunas de las representaciones: triángulos, líneas rectas o curvas;
Figura 2.1 Figura 2.2


2cm2



2cm2

1cm2

1cm2

3cm2



3cm2





Oblicua


3cm2




1cm

1cm



Figura 2.3

C

ategoría 03. Entendieron el ejercicio como si fuera una pregunta de selección múltiple



Figura 3.1

Figura 3.2

Figura 3.3

Figura 3.4


1cm

1cm

1cm2

2cm2

2cm

2cm2


1cm2

1cm2

1cm

1cm


La respuesta sería un

centímetro cuadrado 1cm2 porque se suman ambos lados y nos da

1cm2


2cm2

2cm2

1cm2



2cm2

2cm

Figura 3.5

Figura 3.6

Figura 3.7

Figura 3.8

1cm

2cm2

2cm2


1cm


°

°

1cm

1cm

1cm2

1cm

1cm


1cm

=2cm2

1cm2

1cm


°

°

1cm


1cm

1cm2

1cm

2cm2

1cm


Mide 2cm2

Categoría 4. Los estudiantes se inclinan más por la representación numérica de la dimensión 1, atendiendo al número de lados del cuadrado.


Figura 4.1




1cm2

Figura 4.2

Figura 4.3

1cm


1cm2

2cm2

1cm2

1cm



2cm2

3cm2

1cm

3cm2


En los 3 lados del

cuadrado hay 3 cm que

sería igual a 4 cm en total


2cm2

3cm2


3cm2

C
1cm2
ategoría 5.
Se representa el mismo tamaño de la figura, pero con diferentes áreas. Los estudiantes no varían el tamaño del cuadrado y lo único que cambia es el valor de la medida tanto de los lados como del área.


Figura 5.1



Figura 5.2

Figura 5.3


1cm

2cm

1cm2

2m2

1cm2


a)

2m2


1cm

1cm

2cm

2cm

1cm2

2m2


b)


1cm

2cm

3cm

2m2

3cm2


3cm

c)

3cm2

3cm


3m2

3cm2

3cm


3cm2

Categoría 06. Se ubican los estudiantes que no perciben, que al cambiar la dimensión 1 en la figura, cambia su área.
1 cm

3 cm


2 cm
Figuras con o sin numeración en los lados
Categoría 7. Encontramos las representaciones donde se realizan subdivisiones en 2 y 3 cm2.

3cm


2cm








2cm

3cm

1cm2



2cm2


3cm2



Categoría 8. Los estudiantes confunden la representación numérica de la magnitud de longitud con la cantidad de figuras que debe graficar.


1cm2



2cm2

3cm2




Categoría 9. Presentaron 2 alternativas esperadas atendiendo al enunciado y a la representación convencional de 1, 2, 3 centímetros cuadrados.

1cm2

1cm2


2cm2



1cm2


3cm2



3cm2

¿Qué explica que el 68.43% (219/320 estudiantes) haya representado la categoría 6 y que el 96.43% no haya respondido satisfactoriamente?
A manera de conjetura:
Un elemento a considerar es la conceptualización convencional sobre las magnitudes de longitud y área que se emplea en el discurso matemático y que fue expresado en el enunciado del problema

Es probable que esté presente con fuerza la fórmula tradicional de lado por lado para formar una figura cuadrada y calcular áreas

El concepto de centímetro cuadrado como figura, automáticamente conlleva a una representación de una figura cuadrada, mas no una rectangular, triangular ni mucho menos circular; por lo tanto se excluye el centímetro cuadrado como unidad o patrón de medida.

La dimensión uno, la medida y el conteo privilegió o predominó en la estructuración del cuadrado, pero una vez realizada la figura, se refuerza la dimensión 2, donde se percibe éste como una totalidad, sin establecer relaciones con los componentes figurales de la misma


Es evidente que la mayoría de estudiantes presentan dificultad para discriminar las medidas de longitud y área, al igual que los conceptos de unidad, patrón de medida y magnitud
Surgen aquí algunos interrogantes para resolver: ¿Cómo se orienta la geometría en la Escuela Normal Superior de Ibagué?. ¿Qué estrategias pedagógicas y contenidos se deben privilegiar para el desarrollo del pensamiento espacial y métrico en los estudiantes?.
Reflexiones de carácter didáctico para las alternativas de solución
Organizar unas situaciones didácticas que permitan al estudiante ampliar y organizar su red conceptual respecto al área. Gérard Vergnaud (1993), afirma: “Un concepto no puede reducirse a su definición, al menos si se está interesado en su aprendizaje y en su enseñanza. A través de situaciones y problemas por resolver es como un concepto adquiere sentido para el niño”.
Los Lineamientos Curriculares de matemáticas (1998), plantean cinco pensamientos con sus respectivos conocimientos básicos, haciendo un profundo análisis a cada uno de ellos. Pero, esto no quiere decir que se deban fraccionar los pensamientos o recorrerlos verticalmente en forma escalonada. En la Pág. 35 al respecto plantea: “el hecho de que el pensamiento numérico requiera para su desarrollo de los sistemas numéricos, no quiere decir que estos lo agoten, sino que es necesario ampliar el campo de su desarrollo con otros sistemas como los de medida, los de datos, etcétera”.
La actividad del estudiante debe basarse en el desarrollo de procesos de razonamiento, modelación, comunicación, ejercitación y sobre todo la resolución de problemas. “Para hacer posible semejante actividad, el profesor debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones que puedan vivir y en las que los conocimientos van a aparecer como la solución óptima y descubrible en los problemas planteados”. Brousseau (1993).
De acuerdo a los resultados obtenidos en la investigación y después de un cuidadoso análisis didáctico del desarrollo del pensamiento matemático se elabora una serie de talleres de los cuales se presentan 3.
Proyección del trabajo
Dado que este se puede considerar como un trabajo piloto, se hace necesario validarlo mediante la replicación en otros contextos, tanto en su metodología como en sus resultados.

Como punto de partida se hace necesario la revisión de las contenidos y prácticas pedagógicas que se realizan en la institución, relacionadas con el

desarrollo del pensamiento espacial y especialmente en las áreas de ciencias naturales y matemáticas, donde en forma explícita se abordan estas habilidades cognitivas.

ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE IBAGUE

AREAS DE PEDAGOGÍA Y MATEMATICAS

Ponencia al 2° Congreso Internacional de Matemática y 4° Departamental

INEM, Ibagué Septiembre 17-20 de 2003
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA LA INDUCCIÓN AL CONCEPTO DE ÁREA

Jorge Lorenzo Sánchez Irreño. Jorlosa @htomail.com


Ivonne López Rincón. Ilorin55@yahoo.com

Docentes Escuela Normal Superior de Ibagué


TALLER 1:

GRADO: 4


LOGRO:

Explora, descubre propiedades y regularidades de los números, utiliza habitual y críticamente materiales y medios para verificar predicciones, realizar y comprobar cálculos y resolver problemas.


INDICADORES:

Representa numéricamente figuras de diferentes tamaños.

Establece relaciones numéricas en figuras geométricas.

Reconoce variables dependientes e independientes en las figuras formadas.


MATERIAL:

Cuadrados, rectángulos, triángulos de diferentes tamaños. Papel cuadriculado, lápiz.


ESTRATEGIAS METODOLOGICAS:

A cada grupo de 2 estudiantes se les entrega una bolsa con aproximadamente 100 cuadrados, rectángulos y triángulos de diferentes tamaños para realizar las siguientes actividades:

1. a. A partir de unidades o patrones de medida, formar figuras de diferente

tamaño (con solo cuadrados, rectángulos o triángulos)

b. Asignar a cada figura las relaciones numéricas correspondientes.
2. a. A partir de una cantidad determinada realizar todas las figuras posibles.

b. Cuántas figuras geométricas pueden formar con 1, 2, 3..., 18 cuadrados.

Que diferencia hay entre las figuras formadas con números pares e

Impares?


c. A partir de símbolos matemáticos representar las figuras correspondientes.
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA:
En papel cuadriculado, represente gráficamente todas las posibles figuras que se puedan formar con 32 cuadrados, asígnele una representación simbólica, observe, escriba sus conclusiones.
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TALLER 2


GRADO.4
LOGRO:

Reconoce características de figuras planas y líneas, los utiliza en su vida cotidiana en trabajos prácticos como medición, elaboración de dibujos y construcción de modelos.


INDICADOR:

Relaciona subfiguras con la figura mayor en cuanto a su tamaño y proporciones (doble, triplos, medios, tercios, decimos, centésimos etc.)


Establece relaciones numéricas entre las unidades figurales de dimensión 1 (rectas y segmentos) y dimensión 2 que se observan en una figura dada atendiendo a fracciones: medios, tercios, duplos, triplos.
MATERIAL: Cuadrados, rectángulos, triángulos de diferentes tamaños. Un cuadrado de cartulina de 15 cm X 15 cm, tijeras, hojas de papel cuadriculado, lápiz, colores.
ESTRATEGIA METODOLOGICA:

1. a. Formar diferentes figuras utilizando subfiguras como cuadrados,

rectángulos, triángulos.

b. Relacionar cada una de las subfiguras con las figuras más grandes.

Relacionar las subfiguras entre sí. Escriba su conclusión
2. a. Elaboración del tangram.

b. Relacione cada una de las figuras del tangram entre sí y con la figura

mayor en cuanto a tamaño y proporciones (dobles, medios, cuartos).

Escriba las conclusiones.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA:
Dibuja figuras que representen el duplo, triple, cuádruplo... de otra, el medio el tercio el cuarto, la décima parte, la centésima parte... de otra. Colorear
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TALLER 3


GRADO: 4

LOGRO:


Identifica en objetos y situaciones de su entorno las magnitudes de longitud y área. Reconoce procesos de conservación y desarrolla procesos de medición y estimación de dichas magnitudes y las utiliza en situaciones de la vida diaria.
INDICADOR:

Hace diferentes figuras geométricas con una piola de longitud determinada, la cual le sirve para formar los lados de dichas figuras.

Calcula el área de cada figura, usando diferentes métodos no convencionales.

Registra y sistematiza datos que le permiten observar patrones de comportamiento entre perímetro y figuras respecto del área.


MATERIAL: Piola, regla o metro, alfileres, icopor, papel milimetrado. lápiz
ESTRATEGIA METODOLOGICA:

1. Tome una piola, anúdela en los extremos, precise su longitud.(después de

anudarla). Sobre una superficie plana donde pueda introducir 3 o más

alfileres, forme todas las posibles figuras. Se sugiere como superficie

blanda un pedazo de icopor sobre el cual se pega una hoja de papel

milimetrado

2. Calcula el área de cada figura formada. Se debe crear formas de hallar el

área sin usar formula



  1. Cuadrados y rectángulos

  2. Triángulos

  3. Trapecios.

  4. Círculos

e. Otras
Explique el procedimiento empleado para encontrar estas áreas.

3. Observar que cambia en cada figura, que permanece constante, explicitar un

concepto de perímetro a partir de la experiencia.

4. Relacione el perímetro y las figuras, respecto al área. Establezca las correspondientes comparaciones y diferencias con cuadrados y rectángulos, luego entre triángulos, después entre trapecios,...etc. finalmente compare estas áreas con la de la circulo.

Registre, sistematice y analicé los datos. Escriba su análisis.

¿Qué cambia en la figura cuando varia la longitud de sus lados pero no su perímetro?

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA:
Elabore en cartulina un cuadrado, un rectángulo y un triangulo y un circulo que tenga de perímetro 54 cm, calcule sus áreas, compárelas y escriba una conclusión.


BIBLIOGRAFIA

Brousseau, G. (1993). Objeto de los estudios en didáctica. En: Didáctica de

las Matemáticas. CINVESTAD-IPN. México.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. (1998). Lineamientos Curriculares

de Matemáticas. Cooperativa Editorial Magisterio. Santa Fe de Bogotá.


Sánchez, J. (2003). ¿COMO REPRESENTAN GRÁFICAMENTE: 1cm2, 2cm2 y

3cm2 ESTUDIANTES DE LA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE

IBAGUÉ (ENSI)?. En: Cuadernos de Investigación 1. Programa de

Formación Docente. Ciclo Complementario. E.N.S.I.


Vergnaud, G. (1993).La teoría de los campos conceptuales. En: Didáctica de

las Matemáticas. CINVESTAD-IPN. México.


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