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Ecuaciones de Maxwell


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Ecuaciones de Maxwell  

Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones que describen los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. De las ecuaciones de Maxwell se desprende la existencia de ondas electromagnéticas propagándose con velocidad vf:



El valor numérico de esta cantidad, que depende del medio material, coincide con el valor de la velocidad de la luz en el vacío, con lo cual Maxwell identificó la luz con una onda electromagnética, unificando la óptica con el electromagnetismo.


Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell


La formulación moderna de las ecuaciones de Maxwell es debida a Oliver Heaviside y Josiah Willard Gibbs quienes en 1884 reformularon las ecuaciones originales de Maxwell en un sistema abreviado utilizando una notación vectorial. La formulación original de Maxwell databa de 1865 y contenía 20 ecuaciones de 20 variables. En 1873 Maxwell intentó una formulación simplificada que finalmente no resultó popular. La formulación vectorial resultaba especialmente atractiva porque remarcaba las simetrías intrínsecas en las ecuaciones haciendo más fácil su utilización e inspirando aplicaciones posteriores.

Resumen de las ecuaciones

Caso general


Nombre

Forma diferencial

Forma integral

Ley de Gauss:





Ley de Gauss para el campo magnético
(ausencia de monopolos magnéticos):





Ley de Faraday:





Ley de Ampère generalizada:





donde la siguiente tabla proporciona el significado de cada símbolo y su unidad de medida en el SI:

Símbolo

Significado

Unidad de medida SI



campo eléctrico

voltio por metro



campo magnético

amperio por metro



densidad de campo eléctrico

culombio por metro cuadrado



densidad de campo magnético

tesla, o equivalentemente,
weber por metro cuadrado



densidad de carga eléctrica

coulomb por metro cúbico



densidad de corriente

amperio por metro cuadrado



vector del elemento diferencial de superficie normal a la superficie S

metros cuadrados



elemento diferencial de volumen encerrado por la superficie S

metros cúbicos



vector del elemento de longitud del contorno que limita la superficie S

metros



divergencia

por metro



rotacional

por metro

Aunque se hayan utilizado las unidades del Sistema Internacional, las ecuaciones de Maxwell permanecerán invariantes en muchos otros sistemas de unidades (y con únicamente cambios menores en las demás). Los sistemas de medidas más utilizados son el SI (en ingeniería, en electrónica y en experimentos físicos prácticos) y las unidades de Planck o unidades naturales (en física teórica, cosmología y física cuántica).

La segunda ecuación es equivalente a afirmar que el monopolo magnético no existe. La fuerza ejercida sobre una partícula cargada por los campos eléctricos y magnético viene dada por la ecuación de la Fuerza de Lorentz:



donde es la carga de la partícula y es la velocidad de ésta.

Las ecuaciones de Maxwell se aplican generalmente a escalas macroscópicas de los campos, que varían enormemente a escalas microscópicas cercanas al tamaño atómico.

En medios lineales


En medios lineales, la polarizabilidad o polarización eléctrica (en culombios por metro cuadrado) y la magnetización o polarización magnética (en amperios por metro) vienen dadas por:



y los campos y están relacionados con y por:





donde:


χe es la susceptibilidad eléctrica del material,

χm es la susceptibilidad magnética del material,



ε es la permitividad eléctrica del material, y

μ es la permeabilidad magnética del material

En medios no-dispersivos e isótropos, ε y μ son escalares que no dependen del tiempo, por lo que las ecuaciones de Maxwell se reducen a:









En un medio homogéneo, ε y μ son constantes independientes de la posición.

En general, ε y μ pueden ser tensores de rango 2 (matrices 3x3) describiendo medios birrefringentes (anisótropos). Además, aunque en general suele ignorar el la dependencia con el tiempo (y la frecuencia) de estas constantes, todo material real posee cierta dispersión por la que ε y/o μ dependen de la frecuencia (y la casualidad obliga a esta dependencia a cumplir las relaciones de Kramers-Kronig).

En el vacío, sin cargas ni corrientes


El vacío es un medio lineal, homogéneo, isótropo y no dispersivo. Las constantes de proporcionalidad en el vacío sonε0 y μ0 (descartando las leves no-linearidades debidas a efectos cuánticos).



Como no hay ni corriente ni carga eléctrica en el vacío, las ecuaciones de Maxwell en espacio libre son:









Estas ecuaciones tienen soluciones sencillas para ondas planas sinusoidales, con campos eléctricos y magnéticos con direcciones ortogonales entre ellos y ortogonales a la dirección de propagación. Su velocidad de propagación es



Maxwell descubrió que esta cantidad c era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz y para la permitividad y permeabilidad se resumen en la siguiente tabla:



Símbolo

Nombre

Valor numérico

Unidad de medida SI

Tipo



Velocidad de la luz



metros por segundo

definido



Permitividad



faradios por metro

derivado



Permeabilidad



henrios por metro

definido

En detalle

Densidad de carga y campo eléctrico


,

donde ρ es la densidad de carga libre (en C/m3), sin incluir cargas de los dipolos, y es el campo de desplazamiento eléctrico (en C/m2). Esta ecuación corresponde a la ley de Coulomb para cargas estacionarias en el vacío.

La forma integral equivalente se obtiene con el teorema de la divergencia y se conoce como la ley de Gauss:

donde es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, y Qencerrada es la carga encerrada por la superficie.

En un medio lineal, está directamente relacionado con el campo eléctrico mediante una constante dependiente del material llamada permitividad, ε:

.

Cualquier material se puede suponer como linear siempre que el campo eléctrico no sea demasiado grande. La permitividad en el vacío se escribe como ε0 y aparece en:



donde, ρt es la densidad de carga total.

ε puede escribirse también como , donde εr es la permitividad relativa del material o su constante dieléctrica.

Véase también: ecuación de Poisson

La estructura del campo magnético




es la densidad de flujo magnético (en teslas, T), también llamada inducción magnética.

Su forma integral equivalente:



Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.

Esta ecuación indica que las lineas de los campos magnéticos deben ser cerradas. Esto expresa que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo. Así pues, esto expresa la no existencia del monopolo magnético. En caso que algún día se encontrase evidencias de la existencia del monopolo magnético, la Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como

donde ρm correspondería a la densidad de monopolos magnéticos. Esta densidad de carga lleva aparejada una densidad de corriente , la cual obliga a modificar la ley de Faraday, que pasaría a escribirse como



Asimismo, habría que ampliar la expresión de la Ley de Fuerza de Lorentz, para incluir la fuerza sobre cargas magnéticas



con y el campo magnético y el desplazamiento eléctrico en el vacío.


Variación de flujo magnético y campo eléctrico


Su forma integral equivalente es:



donde

donde


ΦB es el flujo magnético a través del área A descrita por la segunda ecuación

E es el campo eléctrico generado por el flujo magnético

l es la curva cerrada por la cual la corriente es inducida.

La fuerza electromotriz (a veces escrita como , que no debe confundirse con la permitividad) es igual al valor de esta integral.

Esta ley corresponde a la ley de Faraday de la inducción electromagnética.

El signo negativo es necesario para mantener la conservación de la energía. Es tan importante que tiene nombre: Ley de Lenz.

Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, pero tiene también muchas otras aplicaciones prácticas. Esta ecuación describe cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos funcionan. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generador variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.

La fuente del campo magnético


donde es la intensidad de campo magnético (en A/m), relacionada con la densidad de campo magnético por una constante llamada permeabilidad μ (B = μH), y es la densidad de corriente.

En el vacío, la permeabilidad es μ = μ0 = 4π×10-7 W/A·m y la permitividad es ε0. Por lo que la ecuación queda como:

Su forma integral equivalente:





Irodeada es la corriente rodeada por la curva .

En algunos casos, esta forma integral de la ley de Ampère-Maxwell aparece como:



siendo


la corriente de desplazamiento.

Si la densidad de flujo eléctrico no varía rápidamente, el segundo término de la parte derecha es despreciable y la ecuación se reduce a la ley de Ampère.

Ley de conservación de la carga


Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas la ley de conservación de la carga

o, en forma integral



Esta ley expresa que la carga no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, y que si dada una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema.


Ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS


A veces se utilizan en otro sistema de unidades (Gaussianas o CGS), que a pesar de estar desaconsejado, es muy utilizado en países anglosajones:








Las ecuaciones de Maxwell en la Relatividad General

Bibliografía recomendada

Grado


  • Griffiths, David J. (1998), Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall. ISBN 013805326X

Postgrado


  • Jackson, John D. (1998), Classical Electrodynamics (3rd ed.), Wiley. ISBN 047130932X

  • Landau, L. D., 1987. The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2). Oxford: Butterworth-Heinemann.

  • James Clerk Maxwell, 1954. A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. ISBN 0486606376.

  • Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, 1973. Gravitation. W.H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.

  • Taflove, Allen; Hagness, Susan C. (2005), Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed., Artech House Publishers. ISBN 1-58053-832-0


Electromagnetismo


Electricidad · Magnetismo

Electrostática :


Campo eléctrico · Carga eléctrica · Ley de Gauss · Ley de Coulomb · Potencial eléctrico

Magnetostática :


Amperio · Campo magnético · Corriente eléctrica · Momento magnético

Electrodinámica :


Campo electromagnético · Corriente de desplazamiento ·

Ecuaciones de Maxwell ·


Fuerza electromotriz · Fuerza de Lorentz · Inducción magnética · Ley de Lenz · Radiación electromagnética

Circuito eléctrico :


Condensador · Electrónica · Generador eléctrico · Guía de onda · Impedancia · Inductancia · Resistencia eléctrica

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell"


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