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Dos Algoritmos para aproximar


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Dos Algoritmos para aproximar
El numero pi, (), es la constante que relaciona el perímetro o longitud de una circunferencia con su diámetro, es decir Π = L/D. Este no es un número exacto sino que es un número irracional. Antiguamente se sabía que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el perímetro y su diámetro y desde el siglo XVII la relación se convirtió en un dígito y fue identificada con el nombre "Pi" (de periphereia, que en el griego significa perímetro de un círculo), A lo largo de la historia, a este cociente se le han asignado cantidades aproximadas.
En la Biblia aparece con el valor de 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios le otorgaban el valor de 256/81; y en China era de 3.1724. Fue en Grecia, cuna del insigne matemático Pitágoras donde la correspondencia entre el diámetro y la longitud de una circunferencia comenzó a convertirse en uno de los más grandes enigmas a resolver. Resulta que un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, después un octógono e ideó aumentar la cantidad de lados del polígono hasta que se ajustara casi con la circunferencia. (De ahí lo de “cuadratura del círculo”). Euclides precisa en sus Elementos, los pasos al límite necesarios para calcular el número en cuestión e investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.

Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida en el intervalo





Al día de hoy, existen multitud de algoritmos para aproximar el número pi. Solamente voy a mencionar dos algoritmos muy potentes para calcularlo y en otro artículo mencionaré dos series que he estudiado.

El primer algoritmo es el de Gauss (1777-1855) y Legendre (1752-1833) . Este método sustituye dos números por sus medias aritméticas y geométricas, para obtener una aproximación a su media aritmético-geométrica.

Los valores iniciales son:

, , ,

Se calculan entonces , , , , .

Pi se aproxima usando .

Ya la tercera iteración da 3.14159265358979...


El otro algoritmo es el de Jonathan y Peter Borwein ( 1951 - ) y (1953- ).

Los valores iniciales son: , . A continuación se realizan las iteraciones con las siguientes fórmulas:


; .
Por lo tanto: .
Resulta que pose una convergencia cuàrtica a . Es decir, que en cada iteración se cuadruplica el número de dígitos correcto.
Un saludo.
Referencias.

  1. G L Cohen and A G Shannon, John Ward's method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144.

  2. Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonathan M. (January 1997). "The Quest for Pi". Mathematical Intelligencer (1): 50-57.

  3. Existen otras doce representaciones de π en el siguiente enlace: http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/


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