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Cuadripolos pasivos


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TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I

CAPÍTULO IV

CUADRIPOLOS PASIVOS

Parte A: INTRODUCCIÓN


Parte B: CASOS ESPECIALES ("T" y "")

Parte C: IMPEDANCIAS

Ing. Jorge María BUCCELLA

Director de la Cátedra de Teoría de Circuitos I

Facultad Regional Mendoza

Universidad Tecnológica Nacional

Mendoza, Septiembre de 2001.-

ÍNDICE
Parte A: INTRODUCCIÓN 3

A.1 Definiciones 3

A.2 El problema de la transferencia 4

A.2.1 Ejemplos de cálculos 6

A.3 El problema de la transmisión general 9

A.3.1 Ecuaciones inversas 11

A.3.2 Cuadripolos en cascada 12
Parte B: CASOS ESPECIALES ("T" Y "") 13

B.1 Cuadripolos en "T" 13

B.2 Cuadripolos en "" 14
Parte C: IMPEDANCIAS 15

C.1 Impedancias en circuito abierto y en

cortocircuito 15

C.2 Impedancia imagen 15


TOTAL: 16 páginas

IV   CUADRIPOLOS PASIVOS
Parte A - INTRODUCCIÓN
IV - A.1 - Definiciones.
El llamado cuadripolo o, más correctamente, red de dos puer­tos, no es una red general de cuatro terminales. Está restringida por el requisito de que la corriente en un terminal de un par debe ser en cada instante igual y opuesta a la corriente en el otro terminal de ese par, es decir que debe presentarse como si fueran dos dipolos.

Una red de dos puertos no tiene conexión entre el circuito externo del lado derecho y el del lado izquierdo excepto a través del cuadripolo. Puede considerarse que es el único medio de transmisión entre ambas partes.

Para el análisis que realizaremos las restricciones de los elementos constitutivos son las de ser lineales, pasivos y bilaterales. Aunque en general pueden ser de cualquier tipo y complejidad requiriendo un análisis adecuado para cada caso.

Existen algunas configuraciones más comunes: "L", "" y "T" como básicas; "H", "cuadro", "escalera", "T puenteada", "T parale­la", "celosía", etc. como derivadas. Suele considerarse a la "L" como la celda básica con la que se construyen todas las demás.



Red en "L" Red en ""



Red en "T" Red en "H"


Si las impedancias serie de las ramas inferior y superior son iguales el sistema puede estar balanceado eléctricamente respecto a tierra.

Se dice que es simétrico cuando podemos permutar extremo por extremo sin afectar el resto del sistema del cual es parte. Con excepción de la "L" cualesquiera de las redes pueden o no ser simétri­cas.

Se supone que los pequeños rectángulos (dipolos) que constituyen las redes no están acoplados entre sí. Dentro de ellos la sub-red puede estar constituida de cualquier manera, incluyendo acoplamientos.

Los cuadripolos pueden presentar tres tipos de problemas:

1) Problema de transferencia: se requiere encontrar una corriente en función de ambas tensiones, o una tensión en función de ambas corrientes.

2) Problema de la transmisión: se requiere encontrar la tensión y corriente en un par de terminales en función de la tensión y corriente del otro. Las condiciones para la transmisión pueden ser no restringidas, o bien puede especificarse que la impedancia colocada a la salida es igual a un valor particular conocido como impedancia imagen del cuadripolo.

3) Problema de la inserción: se requiere encontrar el efecto de intercalar una red de dos puertos en un sistema. La tensión, corriente, potencia y/o respuesta en frecuencia en la carga se expre­sarán en función de los mismos valores antes de la inserción. 

IV - A.2   El problema de la transferencia.


Para nuestro análisis consideraremos al cuadripolo como una caja negra con las siguientes asignaciones de corrientes y tensiones:

Se indica con V a la tensión para generalizar el hecho que no deben ser necesariamente fuentes. Pueden ser dipolos activos o incluso, por supuesto en solo uno de los puertos, un dipolo pasivo.

Conforme a lo visto en los métodos de resolución, la solución del sistema de ecuaciones del método de las mallas nos permite escribir, al ser la red pasiva (que implica la no existencia de generadores en las mallas restantes):



Si hacemos V2 = 0 (cortocircuitamos el puerto 2) tendremos:



de donde será:


e
Si hacemos V1 = 0 (cortocircuitamos el puerto 1) tendremos:

de donde será:


e

recibiendo y11 e y22 el nombre de admitancias en cortocircuito de punto impulsor e y12 e y21 admitancias en cortocircuito de transferencia

La solución del sistema de ecuaciones del método de los nodos nos permite escribir, al ser la red pasiva:



Si hacemos I2 = 0 (abrimos el puerto 2) tendremos:



de donde será:




e

Si hacemos I1 = 0 (abrimos el puerto 1) tendremos:



de donde será:


e

recibiendo z11 e z22 el nombre de impedancias en circuito abierto de punto impulsor y z12 y z21 impedancias en circuito abierto de transferencia

Estos parámetros se determinan fácilmente por medición, aunque se debe tener muy en cuenta que las condiciones límites impuestas al circuito para definir matemáticamente los parámetros no son, en general, posibles de aplicar a los circuitos reales.

Tanto poner en cortocircuito como en circuito abierto un dispositivo puede llevarlo a su destrucción. Además díficilmente un circuito sea posible considerarlo lineal entre extremos tan amplios de condiciones de trabajo.

Conocida la estructura interna del cuadripolo los coeficientes de impedancias y de admitancias se pueden calcular utilizando los métodos de resolución de circuitos, ya sea cortocircuitando o dejando abierto el puerto correspondiente.

IV - A.2.1 - Ejemplos de cálculos


Para mostrar los distintos casos que pueden darse en la práctica tomaremos un circuito sencillo y lo analizaremos desde todos los puntos de vista.

Sea el circuito:



Donde R1 = 1000 ohmios, R2 = 500 ohmios y R3 = 2000 ohmios.

En él hemos indicado un montaje en "T", y cuyas tres componentes son resistencias. Esto último al sólo fin de simplificar los cálculos numéricos, ya que es general deberemos hablar de impedancias complejas o, más general aún, de funciones que dependerán de los elementos constitutivos del cuadripolo y de las señales de excitación.
A) Cálculo de los parámetros de impedancia de circuito abierto conociendo la estructura del dispositivo:

Como lo ya explicamos, las ecuaciones de solución al método de los nodos son de la forma:



donde:


Por consiguiente analizando el circuito para cada caso tendremos:

Para z11, al ser I2=0 la corriente I1 está determinada por la tensión aplicada y las resistencias R1 y R3 en serie.

Para z12, siendo I1=0 la corriente I2 debe ser la que produzca sobre R3 la tensión V1.



Para z21, siendo I2=0 la corriente I1 debe ser la que produzca sobre R3 la tensión V2.



Como se puede ver los dos últimos valores son iguales ya que estamos con un circuito bilateral y las impedancias de transferencia de circuito abierto son iguales.

Para z22, al ser I1=0 la corriente I2 está determinada por la tensión V2 y las resistencias R2 y R3 en serie.

Para el cálculo de los parámetros de admitancia el procedimeinto es análogo considerando cortocircuitar los puertos en lugar de dejarlos en circuito abierto. Y en el caso de circuitos más complejos se aplican, bajo las mismas condiciones de los terminales, los métodos de resolución ya conocidos.


B) Cálculo de los parámetros de impedancia por medición en un circuito que admite las condiciones extremas.

En este caso se aplica una tensión conocida, V1, al puerto 1, dejando en circuito abierto el puerto 2.




Se miden la corriente I1 y la tensión V2. Con estos valores se calculan z11 y z21.

Luego se aplica una tensión conocida al puerto 2, V2, dejando en circuito abierto el puerto 1.




Se miden la corriente I2 y la tensión V1. Con estos valores se calculan z22 y z12.

Si el circuito es bilateral, y dentro del error de las mediciones y cálculos, los valores de z21 y de z12 obtenidos deben ser iguales.



C) Cálculo de los parámetros de impedancia por medición en un circuito que no admite las condiciones extremas.

En este caso se coloca sucesivamente dos cargas, RA y RB, en un puerto, por ejemplo en el dos, de distinto valor elegidas cerca de los límites del rango de trabajo o de linealidad del dispositivo.

Para cada caso se toman los valores de la tensión aplicada al puerto 1,y de las dos corrientes. La tensión del puerto 2 puede ser medida o calculada con la corriente I2 y la resistencia de carga utilizada.

Sea el montaje:


Tomaremos estos datos con los valores siguientes:

Caso 1: Resistencia de carga, RA, de 500 ohmios.

Tensión aplicada V1 = 100 voltios.

Corriente I1 = 0,06 amperios.

Corriente I2 = -0,04 amperios.

Tensión sobre la carga, V2 = 20 voltios.

Caso 2: Resistencia de carga, RB, de 2000 ohmios.

Tensión aplicada V1 = 100 voltios.

Corriente I1 = 0,0474 amperios.

Corriente I2 = -0,0211 amperios.

Tensión sobre la carga, V2 = 42,11 voltios.

Notemos que en ambos casos la corriente del puerto 2 es negativa debido al sentido de I2 y a la polaridad de V2.

Los valores deben satisfacer el sistema de ecuaciones ya visto:





Por lo tanto podremos escribir, para el primer caso,:





Y también, para el segundo,:





Es decir que tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. De esas cuatro incógnitas sabemos que dos son iguales por lo tanto podemos simplificar el cálculo obteniendo de la segunda ecuación (por ejemplo) z21 en función de z22, y como sabemos que es igual a z12 reemplazar sus valores en las ecuaciones primera y tercera.







Haciendo lo propio de la cuarta ecuación obtendríamos:



Reemplazando cualesquiera de estos valores en la primera y tercera ecuación se obtiene:









Resolviendo el sistema obtenemos que:





De las ecuaciones anteriores podemos obtener los valores que nos faltan:





Con lo que tenemos resuelto el problema. Los resultados muestran que el cuadripolo es uno equivalente al utilizado para los cálculos anteriores.

En realidad se utilizó el mismo circuito para calcular los valores que se dieron como "medidos".

IV - A.3 - El problema de la transmisión general.



Notemos la inversión de la corriente en el extremo de la derecha.

Un par de ecuaciones especialmente utilizables para esto tendría la forma:
VS = A VR + B IR @(1)
IS = C VR + D IR @(2)

Donde "S" indica el extremo emisor y "R" el receptor. Si suponemos una carga aplicada al extremo receptor, la corriente IR deberá tener el sentido contrario al fijado para el problema anterior.

El sistema solución de las ecuaciones de malla (parámetros de admitancia) contiene la información necesaria para encontrar A, B, C y D con I2 =  IR.


IS = y11 VS + y12 VR @(3)


-IR = y21 VS + y22 VR @(4)

de la ecuación @(4):


VS = (-y22/y21) VR - (1/y21) IR @(5)
que si la comparamos con @(1) se ve que:
A = - y22/y21 B = - 1/y21

reemplazando @(5) en @(3) quedará:


IS = [y21 - (y11y22/y21)] VR - (y11/y21) IR

que si la comparamos con @(2) se ve que:


C = y21 - (y11y22/y21) D = - y11/y21
A las expresiones A, B, C y D se las denomina comúnmente constantes generales de la red, pero, como en la realidad son funciones de la frecuencia, resulta más correcto llamarlas funciones generales de la red

A través de los parámetros de circuito abierto se puede demostrar también que:


A = z11/z21 B = (z11z22/z21) - z21
C = 1/z21 D = z22/z21
Si los elementos integrantes del cuadripolo son bilaterales resultará que z12 = z21, o que y12 = y21, lo que implica que es necesario conocer solamente tres impedancias, o admitancias, para resolver la red.

Esto sugiere que las funciones generales no son todas independientes y, en efecto, existe una relación que las vincula:



A B


A D   B C = 1 o = 1

C D


lo que se puede probar reemplazando los valores encontrados en el determinante.

La red simétrica aparece como la misma desde ambos extremos, aunque no lo parezca estructuralmente; para satisfacer esta definición las redes simétricas deben tener:


z11 = z22 e y11 = y22,
en consecuencia resulta:
A = D.
Es decir que, en este caso, existen dos parámetros independientes en cada conjunto.

IV - A.3.1 - Ecuaciones inversas.


Las ecuaciones generales de transmisión pueden ponerse en forma matricial:


VS A B VR

=

IS C D IR


que en forma abreviada será:
[ S ] = [ K ] [ R ]
Encontraremos la tensión y la corriente del extremo receptor en función de la tensión y la corriente del extremo emisor haciendo:
[ K ]-1 [ S ] = [ K ]-1 [ K ] [ S ]
de donde:

[ R ] = [ K ]-1 [ S ]


con:

donde por ser A D - C B = 1 resultará:
D -B

[ K ]-1 =

-C A
y por ello:

VR D -B VS

=

IR -C A IS


o sea que:

VR = D VS - B IS

IR = -C VS + A IS

I
IR


V - A.3.2 - Redes en cascada.


-

para el cuadripolo 2 será:

[ M ] = [ K2 ] [ R ]

para el cuadripolo 1 será:

[ S ] = [ K1 ] [ M ]

combinando:

[ S ] = [ K1 ] [ K2 ] [ R ]

si definimos:

[ K ] = [ K1 ] [ K2 ]

entonces será:

[ S ] = [ K ] [ R ]

donde [ K ] representa al dipolo resultante que podemos evaluar efectuando el producto matricial:




A1 B1 A2 B2 A1A2+B1C2 A1B2+B1D2

[ K ] = =

C1 D1 C2 D2 C1A2+D1C2 C1B2+D1D2


por lo que el sistema de ecuaciones quedará:


VS = (A1A2+B1C2) VR + (A1B2+B1D2) IR

IS = (A1A2+B1C2) VR + (A1B2+B1D2) IR
y en forma general para n redes en cascada será:

[ S ] = [ K1 ] [ K2 ] ..... [ Kn ] [ R ]

donde el orden de las matrices deberá corresponderse exactamente con el orden de los cuadripolos. 

Parte B - Casos especiales
IV - B.1   Cuadripolo en "T"
Un cuadripolo de "" tiene la estructura siguiente:

y podemos obtener las impedancias de circuito abierto por inspección:


z11 = ZS + 1/Y z22 = ZR + 1/Y
Y cuando la corriente entra por un extremo la tensión en el otro es I/Y luego:
z12 = z21 = 1/Y
entonces:
A = z11/z21 = ZS Y + 1
B = z11z22/z21 - z12 = (ZS Y + 1)(ZR + 1/Y) - 1/Y =
= ZR ZS Y + ZR + ZS
C = 1/z21 = Y
D = z22/z21 = ZR Y + 1
si la "T" es simétrica:
ZR = ZS = ½ Z
y luego:
A = 1 + ½ Z Y B = Z + ¼ Z2 Y
C = Y D = A

IV - B.2   Cuadripolo en ""


Un cuadripolo de "" tiene la estructura siguiente:

y en este caso trabajamos con las admitancias de cortocircuito, por inspección:


y11 = YS + 1/Z y22 = YR + 1/Z
Si aplicamos una tensión en un extremo la corriente en el otro será  V/Z (por los sentidos indicados en el primer estudio) luego:
y12 = y21 = - 1/Z
entonces:
A = - y22/y21 = YR Z + 1
B = - 1/y21 = Z
C = y12 - y11y22/y21 = - 1/Z (YR Z + 1)(YS + 1/Z) =
= YR YS Z + YR + YS
D = - y11/y21 = YS Z + 1
si la "" es simétrica:
YR = YS = ½ Y
y luego:
A = 1 + ½ Z Y B = Z
C = Y + ((½ Y)2 Z) D = A

Parte C: Impedancias
IV - C.1   Impedancias de circuito abierto y de cortocircuito.
Definida la ecuación general de transmisión:


VS = A VR + B IR


IS = C VR + D IR
si ponemos al extremo receptor en circuito abierto (IR = 0) tene­mos:


ZS(oc) = VS/IS = (A VR)/(C VR)= A/C

IR=0
por el contrario, poniéndolo en cortocircuito (VR = 0) logramos:

ZS(sc) = VS/IS = (B IR)/(D IR)= B/D

VR=0

IV - C.2 - Impedancia imagen.


A efectos de conseguir la máxima transferencia de potencia se trata siempre de terminar una red en su impedancia imagen. Afortu­nadamente esta condición también simplifica el cálculo.

Limitaremos este estudio al caso de redes simétricas:




VS = A VR + B IR @(7)

IS = C VR + A IR @(8)

(donde D fue reemplazado por A por esa condición) y por lo que podemos poner que la impedancia de entrada es:


Z1 = VS / IS
y la de salida:
Z2 = VR / IR
obviamente la impedancia de entrada, Z1, dependerá de lo conectado a la salida, Z2; si cambia Z2 cambiará también Z1.

Hay un valor de Z2 tal que hace a Z1 = Z2, ese valor, que se indica con Z0, se denomina impedancia imagen:


Z0 = Z1 = Z2 @(9)
Dividimos @(7) por @(8) y obtenemos:
VS A VR + B IR

Z1 = =

IS C VR + A IR


substituyendo VR por Z2 IR:
A Z2 IR + B IR A Z2 + B

Z1 = =

C Z2 IR + A IR C Z2 + A


por la condición @(9):
A Z0 + B B 1/2

Z0 = =

C Z0 + A C
habíamos visto que:
A B

Z1(oc) = y Z1(sc) =

C D
con lo que resulta:


A B

Z1(oc)*Z1(sc) =

C D
pero recordando que para la red simétrica es A = D quedará:


[Z1(oc) Z1(sc)]½ = Z0

la impedancia imagen es la media geométrica de la impedancia de entrada en circuito abierto y la impedancia de entrada en cortocircuito. 





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