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Conjuntos concepto Notación Escribir los elementos de un conjunto Definiciones Propiedades Diagramas de Venn concepto


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CONJUNTOS

Concepto Notación Escribir los elementos de un conjunto
Definiciones Propiedades Diagramas de Venn

CONCEPTO

La palabra “conjunto” es un concepto primitivo (o elemental). Intuitivamente un conjunto es una colección de objetos bien-definidos y distinguibles. Estos objetos se conocen como elementos.
George Cantor (1845-1918), el padre de la teoría moderna de conjuntos, escribió que: “un conjunto es una multitud que concebimos como una unidad”.
En realidad, casi cualquier definición que se intente de “conjunto” tendrá algún punto débil. El no contar con una definición precisa no ha sido obstáculo para que los matemáticos desarrollen su teoría y contribuyan con ello a muchas áreas de las matemáticas.
NOTACIÓN

Representaremos los conjuntos con letras mayúsculas: A, B, C, D, etc. A los elementos de los conjuntos los representaremos con letras minúsculas. Por ejemplo, podemos escribir que A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7} es el conjunto de los días de la semana si es que a1 representa al domingo, a2 al lunes, así sucesivamente, y a7 representa al sábado.


Si x es un elemento de un conjunto A, este hecho se representa así: xA. En cambio, si x no es un elemento de A, escribimos xA. Se dice que un conjunto es bien-definido cuando ocurre lo siguiente: dado un elemento x podemos asegurar, sin ambigüedad, si este elemento x forma parte o no de un conjunto A cualquiera.
Usualmente los elementos de un conjunto se escriben entre llaves, { }, como en el primer ejemplo, donde A representa los días de la semana. Si un conjunto A consiste de los elementos x1, x2, …, xn, entonces puede representarse como A = {x1, x2, …, xn}. De acuerdo con nuestro primer ejemplo, x1 = domingo, x2 = martes, …, x7 = sábado.
POR DESCRIPCIÓN O POR ENUMERACIÓN

Por enumeración. Cuando el número de elementos de un conjunto no es muy grande, podemos enlistarlos con facilidad. Como en el primer ejemplo, si A es el conjunto cuyos elementos son los días de la semana, escribimos: A = {domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado}, o bien, A = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}, donde xi es el i-ésimo día de la semana con i = 1,…,7.


Por descripción. Si el número de elementos es finito pero grande o es infinito, o bien, desconocemos los elementos exactos, podemos enunciar la característica que deben reunir los elementos de ese conjunto (lo describimos por medio de una regla). Ejemplos:

C = {x|x es una ciudad del mundo con más de una escuela de nivel superior}

D = {x|x2 > 1}
Comentario. Dada una ciudad, y teniendo los datos adecuados, podríamos decir con seguridad si forma parte o no del conjunto C, aun cuando de momento no podamos enumerar los elementos de ese conjunto. Así, se dice que C es un conjunto bien-definido. Oxkutzcab no es elemento de C, Mérida sí lo es.
EJERCICIO. Junto con algún compañero redacte dos ejemplos de conjuntos. Cerciórense de que los conjuntos que escriban sean bien-definidos.

DEFINICIONES DE CONJUNTOS

Definición 1. El conjunto que carece de elementos se conoce como el conjunto vacío y se denota con el símbolo Æ. Una forma equivalente de representar el conjunto vacío es escribiendo unas llaves sin elementos, { }.


Definición 2. Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es también un elemento de B. Esto se representa así, A Ì B. Si B contiene al menos un elemento que no está en A, se dice que A es un subconjunto propio de B
Definición 3. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera; se dice que A y B son iguales si A Ì B y B Ì A.
Definición 4. El conjunto que contiene todos los conjuntos bajo consideración en un determinado estudio, se conoce como el conjunto universal y se representa por medio del símbolo W.
Definición 5. El complemento de un conjunto A, denotado por Ac, es el conjunto que contiene todos aquellos elementos del conjunto universal, excepto los que pertenecen a A. Simbólicamente:

Ac = {x|xÏA}
Definición 6. La unión de dos conjuntos A y B, denotado por AÈB, es el conjunto de los elementos que pertenecen ya sea a A ó a B (o a ambos*). En símbolos:

AÈB = {x|xÎA ó xÎB}
Definición 7. La intersección de dos conjuntos A y B, denotado por A Ç B, es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B. Usando símbolos:

A Ç B = {x|xÎA y xÎB}
Definición 8. Dos conjuntos A y B cualesquiera son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío, esto es, si no tienen algún elemento común.
PROPIEDADES DE CONJUNTOS

Resultado 1. El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto1.

Resultado 2. El conjunto vacío es único2.

Resultado 3. El complemento del Ø es Ω. El complemento de Ω es Ø.

Resultado 4. El complemento de Ac es A.

Sabemos que el complemento de A está formado por todos los elementos que están en el universo pero que no son elementos de A; la proposición nos dice que el complemento de Ac es otra vez el conjunto A. Esto es consecuencia de la definición 5. Por esto se dice que la operación complemento es recursiva.

Resultado 5. Para cualquier conjunto A se cumple que AAc = Ω y AAc = Ø.

Resultado 6. AB = A(AB)

La diferencia del conjunto A y el conjunto B es igual a A menos la intersección que existe entre A y B, lo que gráficamente se observa como una media luna de A. De forma análoga, BA = B(AB).

Resultado 7. (Propiedad asociativa para la unión)

(A U B) U C = A U (B U C)

Resultado 8. (Propiedad asociativa para la intersección)

(AB) ∩ C = A ∩ (BC)

Resultado 9 (Propiedad distributiva).



A U (BC) = (A U B) ∩ (A U C)

Resultado 10 (Propiedad distributiva).



A ∩ (B U C) = (AB) U (AC)

Resultado 11 (Primera ley de Morgan).

(A U B)c = AcBc

En palabras: el complemento de la unión de A con B es igual a la intersección de los complementos de los conjuntos involucrados. Se puede interpretar también así: el complemento de una disyunción es la conjunción de los complementos. Gráficamente, se representa así:

(A U B)c = AcBc
Resultado 12 (Segunda ley de Morgan).

(AB) c = Ac U Bc

En palabras: el complemento de la intersección de A con B es igual a la unión de los respectivos complementos. En otras palabras: el complemento de una conjunción es la disyunción de los complementos respectivos.
DIAGRAMAS DE VENN

Existe una forma gráfica para representar los conjuntos, y que nos servirá también para representar probabilidades en la Unidad II, conocida como diagramas de Venn, en honor al matemático británico del siglo XIX, John Venn. El conjunto universal es representado por un rectángulo y los conjuntos se representan con partes de ese rectángulo. Si dos conjuntos son disjuntos, las partes correspondientes de éstos en el rectángulo no se traslaparán.


Tomado de Advanced Calculus with Applications in Statistics de André I. Khuri, University of Florida, John Wiley and Sons INC.



1 Sabemos que A es un subconjunto de B si es que cada elemento de A también es elemento de B. Dicho de otra forma, para que A sea subconjunto de B, debemos asegurarnos que ningún elemento de A no esté en B. Así, puesto que el conjunto vacío carece de elementos, entonces es imposible encontrarle elementos que no estén en cualquier otro conjunto, digamos A. Por tanto, el conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto.

2 Esta propiedad puede explicarse a partir de la prop 1. Sea A el conjunto vacío 1 y sea B el conjunto vacío 2, de la prop 1 deducimos que A es subconjunto de B y que también B es subconjunto de A; de la definición3, esto nos lleva a concluir que A y B son iguales, es decir el conjunto vacío 1 es igual al conjunto vacío 2. Entonces sólo hay un único conjunto vacío.



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