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Colégio pedro II unidade escolar são cristóVÃo III aprofundamento de matemática


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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III

APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA

APOSTILA II – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO

ALUNO(A): ___________________________________________





AULA 6: Análise Combinatória e Probabilidades - GABARITO
1. ((UFF) Niterói é uma excelente opção para quem gosta de fazer turismo ecológico. Segundo dados da prefeitura, a cidade possui oito pontos turísticos dessa natureza. Um certo hotel da região oferece de brinde a cada hóspede a possibilidade de escolher três dos oito pontos turísticos ecológicos para visitar durante sua estada. O número de modos diferentes com que um hóspede pode escolher, aleatoriamente, três destes locais, independentemente da ordem escolhida, é:
a) 8 b) 24 c) 56 d) 112 e) 336
Solução. A escolha independe da ordem. Logo, uma combinação: .

Parte superior do formulário

Parte inferior do formulário
2. Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e chapéu. O organizador do desfile afirma que três modelos de saia, três de blusa, cinco de bolsa e um certo número de chapéus permitem mais de duzentas possibilidades de diferentes escolhas deste traje. Assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de chapéus que torna verdadeira a afirmação do organizador.
a) 189 b) 30 c) 11 d) 5 e) 4
Solução. Considerando N o número de chapéus, pelo princípio multiplicativo, temos:

. Como N é um número natural, N = 5 é o mínimo.
3. (FUVEST) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todas se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

Solução. Considerando x o número de homens e y o número de mulheres, o número de apertos de mãos entre os homens será de , já que o aperto acontece duas vezes. Na entrada e saída. Entre homens e mulheres, o total será de (x.y). Considerando ainda que x + y = 37, temos:
.
O número de mulheres será 37 – 20 = 17.
4. Numa primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Solução. Considerando N o número de jogadores e que o jogo de A contra B é o mesmo de B contra A, temos: .
5. (UFMG) Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utilizam dois cubos. Algumas faces desses cubos são brancas e as demais, pretas. O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos e em observar as faces superiores de cada um deles quando param.

- Se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá;

- Se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá;

Sabe-se que um dos cubos possui 5 faces brancas e uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o jogo é de 11/18. Então, é CORRETO afirmar que o número de faces brancas do outro cubo é:


a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 Parte inferior do formulário

Solução. Considerando x o número de faces brancas e y o número de faces pretas do 2º cubo a probabilidade de vitória de Leandro será se sair BB ou PP.

.
6. (UFMG) A partir de um grupo de 8 pessoas, quer se formar uma comissão constituída de 4 integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se podem formar esta comissão?
a) 70 b) 35 c) 45 d) 55 e) 60
Solução. O número de comissões pedidas será o número de comissões sem restrições subtraído do número de comissões em que Gustavo e Danilo estão juntos (escolha de 2 dentre os 6 restantes):
.
7. Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes que se pode fazer a programação dessa semana é:
a) 144 b) 576 c) 720 d) 1040 e) 360
Solução. Considerando (F1F2F3)GHIJ os filmes escolhidos, os filmes que serão apresentados em dias consecutivos são os entre parênteses. Logo, há duas permutações possíveis: entre os três filmes consecutivos e entre o total de cinco elementos mantendo juntos o bloco dos F´s. Logo, o total de maneiras será: (3!).(5!) = (6).(120) = 720.
8. (UNESP) Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser formadas com esse código é:
a) 120 b) 62 c) 60 d) 20 e) 10
Solução. Considerando cada caso e que a repetição de símbolo é possível, temos:
.
9. As antigas placas para automóveis, com duas letras seguidas de quatro algarismos, foram substituídas por novas com três letras seguidas de quatro algarismos. Nestas placas, bem como nas antigas, são utilizadas as 23 letras do alfabeto português, mais as letras K, W, Y. Quantos carros a mais puderam ser emplacados com o novo sistema?

a) 17576.104 b) 17576.105 c) 676.105 d) 676.104 e) 169.106



Solução. A quantidade a mais será a diferença entre o número de carros emplacados atualmente e o número anterior:
.
10. (UFF) Gilbert e Hatcher, em Mathematics Beyond the Number, relativamente à população mundial, informam que: - 43% tem sangue tipo O; - 85% tem Rh positivo; - 37% tem sangue tipo O com Rh positivo.
Nesse caso, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso não ter sangue tipo O e não ter Rh positivo é de:
a) 9% b) 15% c) 37% d) 63% e) 91%
Solução. Considerando 100% o total e representando a situação em conjuntos, temos:
.

11. Suponha que, dos imigrantes que chegaram aos Estados Unidos, 120 mil fossem brasileiros. Um dos 15 milhões de imigrantes teve sorte grande naquele país: ficou rico. A probabilidade de esse imigrante não seja brasileiro é de:


a) 0,80% b) 9,92% c) 80,00% d) 99,20% e) 100%
Solução. Considerando a probabilidade complementar, temos:
.
12. (UNESP) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um deles é independente da escalação do outro, a probabilidade de os dois jogadores serem escalados é:
a) 0,06 b) 0,14 c) 0,24 d) 0,56 e) 0,72
Solução. A probabilidade de o jogador ser escalado é 1 – 0,2 = 0,8. Logo a probabilidade de ambos os jogadores serem escalados será: (0,8).(0,7) = 0,56.
13. Um estudante caminha diariamente de casa para o colégio, onde não é permitido ingressar após as 7h30. No trajeto ele é obrigado a cruzar três ruas. Em cada rua, a travessia de pedestres é controlada por sinais de trânsito não sincronizados. A probabilidade de cada sinal estar aberto para o pedestre é igual a 2/3 e a probabilidade de estar fechado é igual a 1/3. Cada sinal aberto não atrasa o estudante, porém cada sinal fechado o retém por 1 minuto. O estudante caminha sempre com a mesma velocidade. Quando os três sinais estão abertos, o estudante gasta exatamente 20 minutos para fazer o trajeto. Em certo dia, o estudante saiu de casa às 7h09min. A probabilidade de o estudante, nesse dia, chegar atrasado ao colégio, ou seja, chegar após às 7h30min é:
a) 4/27 b) 5/27 c) 6/27 d) 7/27 e) 8/27
Solução. Se o estudante sai às 7h09min, chegará atrasado após 21 minutos ou mais. No caso dos sinais o atraso pode ser de 2 minutos (dois sinais fechados) ou 3 minutos (três sinais fechados). Em termos de probabilidade, o atraso ocorrerá na soma P(FFA) + P(FAF) + P(AFF) + P(FFF). Temos:

.

14. (UFRRJ) Um grupo de dez pessoas da turma de Psicologia de Cris resolveu formar uma comissão de formatura escolhendo um presidente, um secretário e um tesoureiro. Sabendo-se que a filha Cris integrava o grupo e preocupada com um possível cargo que a mesma pudesse ocupar Salete conversou com o marido:


- Pierre, eu não gostaria que a Cris fosse tesoureira. - Fique tranquila, disse Pierre! A probabilidade de Cris ser tesoureira é muito pequena! Qual seria essa probabilidade?
a) 1/10 b) 1/8 c) 7/8 d) 1/7 e) 1/15
Solução. Para que Cris possa ser escolhida tesoureira, é preciso que seja escolhida entre as 10. É preciso que seja garantido isso em primeiro lugar. A probabilidade dessa escolha é:
.

Uma vez escolhida, Cris será uma das três que concorrerão ao cargo de tesoureira. Há 1/3 de essa probabilidade ocorrer. Logo, .

15. (ENEM) O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome (MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisa nacional sobre a população que vive na rua, tendo sido ouvidas 31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse levantamento, constatou-se que a maioria dessa população sabe ler e escrever (74%), que apenas 15,1% vivem de esmolas e que, entre os moradores de rua que ingressaram no ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros dados da pesquisa são apresentados nos quadros.


No universo pesquisado, considere que P seja o conjunto das pessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/drogas e Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua é a decepção amorosa. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesquisado e supondo-se que seja igual a 40% a probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto P ou do conjunto Q, então a probabilidade de que ela faça parte do conjunto interseção de P e Q é igual a:
a) 12% b) 16% c) 20% d) 36% e) 52%Parte superior do formulário

Solução. Aplicando a operação entre probabilidades temos:
.



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