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Aplicaciones de la diagonalización por bloques Polinomios de matrices


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7.12.- Aplicaciones de la diagonalización por bloques
Polinomios de matrices
Examinando el ejemplo anterior veremos algunas de las consecuencias que se pueden derivar de la diagonalización por bloques de Jordan. Recuerde que si la matriz es diagonalizable, los bloques de Jordan son de orden 1 y la descomposición de Jordán será una diagonalización. En este caso el algoritmo de Filipov no arrojará autovectores generalizados.
Examinemos la descomposición de Jordan de nuestra última matriz de ejemplo, la cual fué


La forma de Jordán es evidetemente una matriz diagonal por bloques. Si escribimos tal matriz en la forma








D = , tendremos D2 =

Vemos que cada bloque es elevado al cuadrado.




En general



Dn =

Además, cada bloque Dii es o diagonal o triangular superior, por lo tanto cada potencia Dnii es fácil de calcular.


Se pueden definir además polinomios de matrices, asi:
Sea A = VDV-1, donde D es una matriz diagonal por bloques.
Sea p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
Definimos p(A) = a0 + a1A + a2A2 + a3A3
Se puede concluir que
p(A) = Vp(D)V-1 =

es una matriz diagonal por bloques. Los p(Dii) son mas sencillos de calcular en el caso de la descomposición de Jordan, ya que los bloques básicos o son de orden 1, o matrices triangulares superiores con abundancia de ceros tanto sobre la diagonal, como bajo ella, dependiendo de la dimensión de cada bloque básico. Recuerde que para matrices de orden mayor, un bloque básico de Jordan podría parecerse a:


En realidad son tipos de matrices de banda.


Cálculo de autovalores
Si la descomposición de Jordan o una descomposición similar, diagonal por bloques, con las propiedades convenientes, se hiciese por vías diferentes, sin pasar por el cálculo del polinomio característico, de ella podrían derivarse los autovalores con su multiplicidad algebraica y geométrica.
Cálculo del determinante
El determinante de una matriz es igual al determinante de su forma de Jordan puesto que:
det(A) = det (VDV-1) = det(V) det (D) det (V-1) = det (D). (ya que det(V-1) = 1/det(V)).
El determinante de V es por lo tanto el producto de sus autovalores, teniendo en cuenta multiplicidades ya que los bloques de Jordan son matrices triangulares superiores y
det(A-I) = det(VDV-1 -  I) = det ( VDV-1 -  VIV-1) = det (V) det (D - I) det (V-1) = det (D - I)
Vemos que las transformaciones semejantes también conservan al polinomio característico.


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