Página principal

Aos leitores 2 XX olimpíada brasileira de matemática


Descargar 1.08 Mb.
Página1/4
Fecha de conversión18.07.2016
Tamaño1.08 Mb.
  1   2   3   4

          1. CONTEÚDO





AOS LEITORES 2
XX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 3

Problemas e soluções da Primeira Fase
XX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 14

Problemas e soluções da Segunda Fase
XX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 22

Problemas e melhores soluções da Terceira Fase
            1. XX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 34

Resultados
ARTIGOS
PROBLEMAS ANTIGOS 37

Eduardo Wagner
O LOGOTIPO DA OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 42

Paulo Cezar Pinto Carvalho
SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PROPOSTOS 47
PROBLEMAS PROPOSTOS 56
ERRATA 57
CARTAS DOS LEITORES 58
COMO ASSINAR A EUREKA! 59
AGENDA OLÍMPICA 60
COORDENADORES REGIONAIS 61




AOS LEITORES
Iniciamos este segundo ano da revista EUREKA! transmitindo nossa satisfação pela acolhida no primeiro ano de vida da revista, de toda a comunidade estudantil e dos diretores e professores dos colégios envolvidos. Agradecemos a todos os que têm apoiado esta iniciativa e esperamos continuar apoiando, através desta publicação, o trabalho dos professores.
Nesta nova edição da revista EUREKA! aproveitamos para registrar a XX Olimpíada Brasileira de Matemática, da qual publicamos as provas da primeira, segunda e terceira fases com soluções (que, esperamos, serão úteis para a preparação para a XXI OBM), bem como as listas de premiados nos três níveis. Nesta edição, também publicamos artigos de dificuldade intermediária e material enviado por numerosos professores e alunos. Esperamos seguir recebendo colaborações dos nossos leitores: soluções dos problemas propostos, pequenos artigos e curiosidades matemáticas.
Devido ao interesse manifestado por diversas pessoas, criamos recentemente as assinaturas individuais da revista EUREKA!. Para maiores informações, veja página 59 desta edição. Por outro lado, estamos planejando criar, nos próximos números, um pequeno espaço publicitário ligado ao ensino da matemática, para o qual aguardamos propostas de leitores, editoras e instituições de ensino. Desta forma, estaremos gerando recursos que ajudarão a manter a publicação da revista.
Aproveitamos, por fim, para registrar que foi realizada em janeiro de 1999 a segunda Semana Olímpica, que reuniu premiados na XX Olimpíada Brasileira de Matemática nos 3 níveis e professores de vários estados. A atividade foi realizada em Maracanaú, Ceará, no centro de treinamento do Colégio 7 de Setembro, ao qual gostaríamos de agradecer pelo apoio.

Comitê Editorial.


XX Olimpíada Brasileira de Matemática

Primeira Fase - Nível 1 
01. Qual dos números a seguir é o maior?

A) 345 B) 920 C) 2714 D) 2439 E) 8112


02. Um menino joga três dados e soma os números que aparecem nas faces voltadas para cima. O número dos diferentes resultados dessa adição é:

A)12 B) 18 C) 216 D) 16 E) 15


03. Renata digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15. O número digitado foi:

A) 31 B) 7 C) 39 D) 279 E) 27


04. Numa competição de ciclismo, Carlinhos dá uma volta completa na pista em 30 segundos, enquanto que Paulinho leva 32 segundos para completar uma volta. Quando Carlinhos completar a volta número 80, Paulinho estará completando a volta número:

A) 79 B) 78 C) 76 D) 77 E) 75


05. Elevei um número positivo ao quadrado, subtrai do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual:

A) Ao próprio número B) Ao dobro do número

C) Ao número mais 1 D) À raiz quadrada do número

E) Ao número menos 1


06. Quantos números de 3 algarismos existem cuja soma dos algarismos é 25 ?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10


07. João é mais velho que Pedro, que é mais novo que Carlos; Antônio é mais velho do que Carlos, que é mais novo do que João. Antônio não é mais novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. O mais jovem deles é:

A) João B) Antônio C) Pedro D) Carlos

E) impossível de ser identificado a partir dos dados apresentados
08. Escreva um número em cada círculo da fila abaixo, de modo que a soma de três números quaisquer vizinhos (consecutivos) seja 12.

No último círculo à direita deve estar escrito o número:

A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 7


09. Dezesseis cubos de 1cm de lado são colocados juntos, formando o paralelepípedo representado abaixo.

A superfície do mesmo foi pintada de verde e, em seguida, os cubos foram separados. O número de cubos com exatamente duas faces verdes é:

A) 2 B) 6 C) 4 D) 8 E) 10


10. Uma fazenda retangular que possui 10 km de largura por 20 km de comprimento foi desapropriada para reforma agrária. Se a fazenda deve ser dividida para 200 famílias de modo que todas as famílias recebam a mesma área, então cada família deve receber:

A) 1.000.000 m2 B) 100.000 m2 C) 5.000 m2 D) 1.000 m2

E) 10.000 m2
11. Um estacionamento para carros cobra 1 real pela primeira hora e 75 centavos a cada hora ou fração de hora seguinte. André estacionou seu carro às 11h 20min e saiu às 15h 40min. Quantos reais ele deve pagar pelo estacionamento?

A) 2,50 B) 4,00 C) 5,00 D) 4,75 E) 3,75


12. Para fazer 12 bolinhos, preciso exatamente de 100g de açúcar, 50g de manteiga, meio litro de leite e 400g de farinha. A maior quantidade desses bolinhos que serei capaz de fazer com 500g de açúcar, 300g de manteiga, 4 litros de leite e 5 quilogramas de farinha é:

A) 48 B) 60 C) 72 D) 54 E) 42



13. Joãozinho brinca de formar quadrados com palitos de fósforo como na figura a seguir.

A quantidade de palitos necessária para fazer 100 quadrados é:

A) 296 B) 293 C) 297 D) 301 E) 28


14. A soma de todos os números ímpares de dois algarismos menos a soma de todos os números pares de dois algarismos é:

A) 50 B) 46 C) 45 D) 49 E) 48


15. O número que devemos somar ao numerador e subtrair do denominador da fração para transformá-la na sua inversa é:

A) 3.916 B) 3.913 C) 3.915 D) 3.912 E) 3.917


16. O alfabeto usado no planeta X tem somente duas letras: X e x. O sobrenome (nome de família) de cada um de seus habitantes é uma seqüência formada por 4 letras. Por exemplo, xXxx é um possível sobrenome utilizado nesse planeta. O maior número de sobrenomes diferentes que podem ser dados no planeta X é:

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18


17. João quer desfazer-se de sua coleção de 1.000 bolinhas. Para tanto escolhe dez garotos da rua onde mora. Dá ao primeiro garoto x bolinhas, ao segundo x + 1 bolinhas. Assim faz até chegar ao décimo garoto. Sempre dá uma bolinha a mais para o próximo garoto. No final, João ainda fica com um resto de bolinhas. Sendo x o número que deixa João com o menor resto possível, x é igual a:

A) 94 B) 95 C) 96 D) 97 E) 98


18. No planeta Z todos os habitantes possuem 3 pernas e cada carro possui 5 rodas. Em uma pequena cidade desse planeta, existem ao todo 97 pernas e rodas. Então podemos afirmar:
A) É possível que existam 19 carros nessa cidade

B) Existem no máximo 16 carros nessa cidade

C) Essa cidade tem 9 habitantes e 14 carros

D) Essa cidade possui no máximo 17 carros

E) Nessa cidade existem mais carros do que pessoas
19. São dados um tabuleiro e uma peça, como mostra a figura.

De quantas maneiras diferentes podemos colocar a peça no tabuleiro, de modo que cubra completamente 3 casas?

A) 16 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60


20. Pedro e Maria formam um estranho casal. Pedro mente às quartas, quintas e sextas-feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Maria mente aos domingos, segundas e terças-feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Certo dia, ambos dizem: ''Amanhã é dia de mentir''. O dia em que foi feita essa afirmação era:

A) segunda-feira B) terça-feira C) sexta-feira D) sábado

E) domingo
Nível 2


  1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação

A) 13 B) 26 C) 38 D) 39 E) 40


02. Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias?

A) segunda-feira B) sábado C) domingo

D) sexta-feira E) quinta feira
03. Anulada.
04. Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho?

A) 3 B) 7 C) 6 D) 9 E) 13





05. O quadrilátero ABCD é um quadrado de área 4m2. Os pontos M e N estão no meio dos lados a que pertencem. Podemos afirmar que a área do triângulo em destaque é, em m2,





A) 2 B) 1,5 C) 2,5 D) 3 E) 3,5

06. Qual é o dígito das unidades do número 31998?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9


07. Num código secreto, as 10 primeiras letras do nosso alfabeto representam os algarismos de 0 a 9, sendo que a cada letra corresponde um único algarismo e vice-versa. Sabe-se que d + d = f, d . d = f, c + c = d, c + d = a e aa = b. Podemos concluir que a + b + c + d é igual a:

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8


08. O número 1234a6 é divisível por 7. O algarismo a vale:

A) 0 B) 2 C) 5 D) 6 E) 8


09. No trapézio abaixo, têm-se: AB paralelo a CD, AD = 10 cm e CD = 15 cm. O ângulo C mede 75º e o ângulo D, 30º . Quanto mede o lado AB, em centímetros?

A) 5 B) 7,5 C) 10 D) 12,5 E)
10. No quadrado mágico abaixo, a soma dos números em cada linha, coluna e diagonal é sempre a mesma. Por isso, no lugar do X devemos colocar o número:

A)30 B) 20 C) 35 D) 45 E) 40
11. Passarinhos brincam em volta de uma velha árvore. Se dois passarinhos pousam em cada galho, um passarinho fica voando. Se todos os passarinhos pousam, com três em um mesmo galho, um galho fica vazio. Quantos são os passarinhos?

A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15


12. Pelo menos quantos metros de barbante são necessários para amarrar 15 pacotes, conforme a figura, sabendo que cada pacote mede 10cm ? 20cm ? 40cm, sendo reservados 20cm para o laço?

A) 39 B) 36 C) 48 D) 56 E) 42
13. Para assistir ao filme Central do Brasil, cada um dos x alunos de uma turma deveria pagar y reais pelo frete do ônibus. Como faltaram 3 alunos, cada um dos alunos presentes teve que pagar 2 reais a mais para cobrir o preço do frete. Qual foi esse preço?

A) (x + 3)(y – 2) B) (x – 3) y + 2 C) x(y + 2) – 3

D) xy – 6 E) (x – 3)(y + 2)
14. Seu Horácio resolveu incrementar a venda de CDs em sua loja e anunciou uma liquidação para um certo dia, com descontos de 30% sobre o preço das etiquetas. Acontece que, no dia anterior à liquidação, seu Horário aumentou o preço marcado nas etiquetas, de forma que o desconto verdadeiro fosse de apenas 9%. De quanto foi o aumento aplicado por seu Horácio?

A) 30% B) 39% C) 21% D) 40% E) 31%


15. Um fabricante de brinquedos embala bolas de pingue-pongue em dois tipos de caixas. Num dos tipos ele coloca 10 bolas e no outro coloca 24 bolas. Num certo dia foram embaladas 198 bolas e usadas mais de 10 caixas. Quantas caixas foram feitas nesse dia?

A)14 B) 16 C) 15 D) 17 E) 11


16. Coloque em cada quadradinho, no desenho a seguir, os algarismos 1, 2, 3, 4 ou 5, de forma que cada um deles apareça pelo menos uma vez e que o número formado seja o maior possível e múltiplo de 9.

No número que você construiu, o algarismo mais repetido apareceu:

A) 6 vezes B) 5 vezes C) 4 vezes D) 3 vezes E) 2 vezes


17. Observe as igualdades a seguir:

Considere a igualdade com base nos exemplos anteriores, procure determinar os números naturais x e y. Podemos concluir que x + y é igual a:

A) 289 B) 121 C) 81 D) 144 E) 196
18. Você vai pintar a bandeira abaixo utilizando 4 cores: azul, verde, amarelo e vermelho, uma em cada região.

Se o vermelho e o amarelo não podem ficar juntos, de quantas maneiras pode ser pintada a bandeira?

A) 12 B) 4 C) 18 D) 20 E) 16


19. Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações:
•André: Eduardo é o culpado. •Eduardo: João é o culpado.

•Rafael: Eu não sou culpado. •João: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado.

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, quem é o culpado?

A) André. B) Eduardo. C) Rafael. D) João.

E) Não se pode saber.
20. Anulada.
Nível 3

01. Veja Problema 1 Nível 2. 02. Veja Problema 2 do Nível 2.

03. Veja Problema 5 do Nível 2. 04. Veja Problema 6 do Nível 2.

05. Veja Problema 15 do Nível 2.
06.-

A) 0,2222… B) 0,3333… C) 0,4444… D) 0,5555… E) 0,6666…


07.- Veja Problema 8 do Nível 2.
08.- Todos os ângulos internos de um polígono convexo são menores que (não podendo ser iguais a) 160?. O número de lados desse polígono é, no máximo, igual a:

A) 12 B) 14 C) 15 D) 17 E) 18


09.- A média aritmética de seis números é 4. Quando acrescentamos um sétimo número, a nova média é 5. O número que foi acrescentado é:

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 11


10. Veja Problema 19 do Nível 2.
11.- Em uma calculadora, a tecla A transforma o número x que está no visor em e a tecla B multiplica por 2 o número que está no visor. Se o número 2 está no visor e digitamos a seqüência ABABABAB...AB (total de digitações: 998), obteremos no visor um número que é igual a:

A) 1 B) 2-498 C) 2-500 D) 2499 E) 2500


12.- Um número inteiro n é bom quando 4n + 1 é um múltiplo de 5. Quantos números bons há entre 500 e 1.000?

A) 50 B) 51 C)100 D) 101 E) 102


13.- Em um conjunto de pontos do espaço, a distância entre dois pontos diferentes quaisquer é igual a 1. O número máximo de pontos que pode haver nesse conjunto é:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8


14.- Se x homens fazem x embrulhos em x segundos, em quantos segundos y homens farão y embrulhos?

A) y B) x C) D) E)


15.- Você entra em um restaurante para comer pizza e espera pagar uma quantia proporcional à quantidade de comida pedida. Se uma pizza com 20 cm de diâmetro custa R$ 3,60, quanto você espera pagar por uma outra do mesmo sabor com 30cm de diâmetro?

A) R$ 5,40 B) R$ 5,80 C) R$ 6,60 D) R$ 7,50 E) R$ 8,10


16.- A função f associa a cada real x o menor elemento do conjunto . O valor máximo de f(x) é:

A) 4 B) 5 C) 11/2 D) 16/3 E) 19/4


17.- Vendi dois rádios por preços iguais. Em um deles tive lucro de 25% sobre o preço de compra e no outro tive prejuízo de 25%. Em relação ao capital investido:

A) não tive lucro nem prejuízo B) lucrei 6,25%

C) lucrei 16% D) tive prejuízo de 6,25%

E) tive prejuízo de 16%


18.- A respeito da resposta de um problema, Maurício, Paulo, Eduardo e Carlos fizeram as seguintes afirmações:

– Maurício: É maior que 5. – Paulo: É menor que 10.

– Eduardo: É um número primo. – Carlos: É maior que 12.

Entre as afirmações acima, quantas, no máximo, podem ser verdadeiras?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

19.- Os valores reais de x que satisfazem a inequação são:

A) –1 ? x ? 1 B) x = 1 C) x ? 1 D) x ? 1

E) x ? 2
20.- De quantos modos se pode colocar na tabela abaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?

A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 64
21.- Um viajante deveria caminhar durante uma hora num sentido entre o norte e o leste, fazendo 300 com o norte. Atrapalhou-se e caminhou uma hora num sentido entre o norte e o oeste, formando 300 com o norte. Para chegar ao seu destino, ele deve agora tomar um rumo que faça com o norte um ângulo de:

A) 00 B) 300 C) 450 D) 600 E) 900


22.- Barcas vão do Rio a Niterói em 25 minutos e lanchas fazem a viagem em 15 minutos. A que horas a barca que partiu do Rio às 10h 01min é alcançada pela lancha que saiu do Rio às 10h 07min?
A) 10h 15min B) 10h 16min C) 10h 17min D) 10h 18min

E)10h 20min


23.- Veja Problema 17 do Nível 2.

24.- A soma das raízes reais de é:

A) –3 B) C) 1 D) E) 3


25.- Dado um cubo, considere o conjunto de 27 pontos formado pelos vértices desse cubo, pelos pontos médios de suas arestas, pelos centros de suas faces e pelo centro do cubo. Quantas são as retas que passam por três desses pontos?

A) 49 B) 54 C) 63 D) 81 E) 108



Respostas Nível 1:

01.- E 06.- C 11.- B 16.- D

02.- D 07.- C 12.- B 17.- B

03.- A 08.- A 13.- D 18.- D

04.- E 09.- D 14.- C 19.- C

05.- E 10.- A 15.- A 20.- B



Respostas Nível 2:

01.- D 06.- E 11.- B 16.- B

02.- C 07.- D 12.- B 17.- A

03.- Anulada 08.- D 13.- E 18.- A

04.- C 09.- A 14.- A 19.- C

05.- B 10.- B 15.- D 20.- Anulada



Respostas Nível 3:

01.- D 06.- E 11.- A 16.- D 21.- E

02.- C 07.- D 12.- C 17.- D 22.- B

03.- B 08.- D 13.- C 18.- D 23.- A

04.- E 09.- E 14.- B 19.- B 24.- D

05.- D 10.- C 15.- E 20.- D 25.- A



Você sabi@…

Que a Olimpíada Brasileira de Matemática tem uma lista eletrônica de discussão de problemas de Matemática, aberta a todos os alunos e professores interessados? Entre em contato conosco!!!

:8

e-mail:obm@impa.br


XX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Segunda Fase - Nível 1
PROBLEMA 1

João comprou um livro e reparou que ele tinha 200 páginas. Seu irmão mais novo arrancou ao acaso 25 folhas e somou os números das 50 páginas.

Explique porque o resultado desta soma não pode ser igual a 1998.

Atenção: cada folha tem duas páginas. A primeira folha tem as páginas 1 e 2, a segunda folha tem as páginas 3 e 4, e assim por diante.
Solução

Como cada folha contém duas páginas tais que a soma dos seus respectivos números é ímpar, ao adicionarmos todos esses 25 números, obteremos necessariamente uma soma ímpar que, portanto, não pode ser igual a 1998.


PROBLEMA 2

Que frações devem ser retiradas da soma para que a soma das restantes seja igual a 1?


Solução

(*)
Uma vez que 60 + 30 + 20 + 10 = 120, é claro que podemos remover e (além disso, vê-se claramente no lado direito da igualdade (*) que não existem outros termos cuja soma seja igual a ) Assim, devemos remover e
PROBLEMA 3

Encontre dois números de três algarismos cada um, usando cada um dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 exatamente uma vez, de forma que a diferença entre eles (o maior menos o menor) seja a menor possível.



Solução

Para que a diferença seja a menor possível, os números devem ser os mais próximos possíveis. Assim, os algarismos das centenas devem ser consecutivos. A melhor escolha é aquela em que as dezenas formadas pelos algarismos restantes tenham a maior diferença possível, o que ocorre para as dezenas 65 e 12. Assim, os algarismos das centenas devem ser 3 e 4. O menor número começado por 4 é 412 e o maior começado por 3 é 365, cuja diferença é 47.


PROBLEMA 4

Existem casas em volta de uma praça. João e Pedro dão uma volta na praça, caminhando no mesmo sentido e contando as casas. Como não começaram a contar da mesma casa, a 5ª. casa de João é a 12ª. de Pedro e a 5ª. casa de Pedro é a 30ª. de João. Quantas casas existem em volta da praça?


Solução

Sejam Jn e Pn respectivamente as n-ésimas casas de João e Pedro. De J5 a J30 exclusive, existem 30 – 5 – 1 = 24 casas. De P5 a P12 exclusive existem 12 – 5 – 1 = 6. Logo, no total existem 24 + 6 + 2 = 32 casas.


PROBLEMA 5

Existem 20 balas sobre uma mesa e duas crianças começam a comê-las, uma criança de cada vez. Em cada vez, cada criança deve comer pelo menos uma bala e está proibida de comer mais que a metade das balas que existem sobre a mesa. Nesta brincadeira, ganha a criança que deixar apenas uma bala sobre a mesa. Qual das duas crianças pode sempre ganhar na brincadeira: a primeira ou a segunda a jogar? Como deve fazer para ganhar?


Solução

Ganha a primeira criança. No início ele deve comer 5 balas, deixando 15 balas sobre a mesa. A segunda criança deve comer no mínimo uma e no máximo 7 balas, sobrando entre 8 e 14 balas sobre a mesa. Em qualquer caso a primeira criança pode comer algumas balas, deixando exatamente 7 sobre a mesa. A segunda criança agora deve comer entre uma e três balas, deixando de 4 a 6 balas sobre a mesa. A primeira criança agora come algumas delas, deixando exatamente 3 balas, forçando a segunda criança a comer uma. Comendo mais uma após isso, a primeira criança acaba deixando apenas uma bala no final e ganhando o jogo. De um modo mais geral, a estratégia ganhadora consiste em deixar o adversário com 2k – 1 balas, para algum k ? N. O adversário é obrigado a comer de 1 a balas, deixando sobre a mesa um número de balas que está sempre entre 2k–1 e 2k – 2. O primeiro jogador pode, então, jogar novamente de modo a deixar o adversário com balas. O processo prossegue até o adversário ser reduzido a 21 – 1 = 1 bala.


PROBLEMA 6

Pintam-se de preto todas as faces de um cubo de madeira cujas arestas medem 10 centímetros. Por cortes paralelos às faces, o cubo é dividido em 1.000 cubos pequenos, cada um com arestas medindo 1 centímetro. Determine:

a) O número de cubos que não possuem nenhuma face pintada de preto.

b) O número de cubos que possuem uma única face pintada de preto.

c) O número de cubos que possuem exatamente duas faces pintadas de preto.

d) O número de cubos que possuem três faces pintadas de preto.


Solução

Estão sem nenhuma face pintada, os cubos interiores ao cubo maior. Portanto devem ser retiradas uma fila de cima e uma fila de baixo, uma da frente e outra de trás, e uma de cada lado, ficando assim com um cubo de aresta 8 que contém 83 = 512 cubos pequenos.




  1. Estão com uma face pintada aqueles que pertencem a uma face mas não possuem lado comum com a aresta do cubo maior, isto é, 82 = 64 em cada face. Como são seis faces, temos 6 ? 64 = 384 cubos pequenos.

  2. Estão com duas faces pintadas aqueles que estão ao longo de uma aresta mas não no vértice do cubo maior, isto é, 8 cubos em cada aresta. Como são 12 arestas, temos 8 ? 12 = 96 cubos pequenos.

  3. Estão com 3 faces pintadas aqueles que estão nos vértices do cubo maior, ou seja, 8 cubos pequenos.


Nível 2

PROBLEMA 1

Que frações devem ser retiradas da soma para que a soma das restantes seja igual a 1? Dê todas as soluções.



Solução

(*)
Devemos escrever 120 como soma de algumas parcelas 60, 40, 30, 20, 15, 12, 10. As soluções possíveis são 60 + 40 + 20 = 120

60 + 30 + 20 + 10 = 120.

Assim, podemos remover e ou e .

Evidentemente 15 e 12 não podem aparecer, pois a soma não seria múltipla de 10 nesse caso.


PROBLEMA 2

Veja Problema 3 do Nível 1.


PROBLEMA 3

Cinco cartões numerados com 3, 4, 5, 6 e 7, respectivamente, são colocados em uma caixa. Os cartões são retirados da caixa, um de cada vez e colocados sobre a mesa. Se o número de um cartão retirado é menor do que o número do cartão imediatamente anterior, então este cartão imediatamente anterior é colocado de volta na caixa. O procedimento continua até que todos os cartões estejam sobre a mesa. Qual é o número máximo de vezes que retiramos cartões da caixa?


Solução

O número máximo de vezes que retiramos cartões da caixa é 15, o que corresponde à seqüência de cartões retirados 7, 6, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 4, 7, 6, 5, 7, 6, 7. De fato, dentre os primeiros 5 cartões há necessariamente um que é menor que o cartão seguinte, e que portanto não voltará mais para a caixa, o mesmo acontecendo para pelo menos um cartão dentre os 4 seguintes, depois para pelo menos um dentre os 3 seguintes, depois para pelo menos um dentre os dois seguintes, sobrando no máximo um cartão, que será o último a ser retirado da caixa.


PROBLEMA 4

Em um triângulo acutângulo ABC o ângulo interno de vértice A mede 300. Os pontos B1 e C1 são os pés das alturas traçadas por B e C, respectivamente e os pontos B2 e C2 são médios dos lados AC e AB, respectivamente. Mostre que os segmentos B1C2 e B2C1 são perpendiculares.


Solução

O segmento B1 C2 é uma mediana do triângulo AB1 B e portanto AC2 = B1 C2 e C2 A = BC = 30?.

Daí Analogamente,Finalmente










PROBLEMA 5

Veja Problema 5 do Nível 1.


PROBLEMA 6

Pintam-se de preto todas as faces de um cubo de madeira cujas arestas medem n centímetros onde n ? 3. Por cortes paralelos às faces, o cubo é dividido em n3 cubos pequenos, cada um com arestas medindo 1 centímetro. Sabendo que o número total de cubos pequenos com exatamente uma face pintada de preto é igual ao número de cubos pequenos apresentando todas as faces sem pintura, determine o valor de n.


Solução

Um cubo pequeno que não possui qualquer face pintada provém do interior do cubo grande. Isto significa que esse cubo pequeno é parte de um cubo de lado n – 2, obtido quando retiramos uma unidade de cada face do cubo original. Assim, existem (n – 2)3 cubos pequenos não pintados. Por outro lado, um cubo pequeno com uma face pintada provém da face do cubo original, mas não tendo qualquer parte da aresta deste cubo. Assim, existem 6(n – 2)2 cubos pequenos com face pintada. Portanto, (n – 2)3 = 6(n – 2)2, com n > 2. Logo, n – 2 = 6, ou seja, n = 8.


Nível 3
PROBLEMA 1

Veja Problema 3 do Nível 2.


PROBLEMA 2

Veja problema 5 do Nível 1.


PROBLEMA 3

Uma reta que passa pelos pontos médios de dois lados opostos de um quadrilátero convexo forma ângulos iguais com ambas as diagonais. Mostre que as duas diagonais têm o mesmo comprimento.


Solução

Sejam ABCD o quadrilátero, M,N,P e Q os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. MN e PQ são paralelos à diagonal AC e medem a metade de seu comprimento, enquanto NP e QM são paralelos à diagonal BD e medem a metade de seu comprimento. Assim, MNPQ é um paralelogramo. As condições do problema dizem que a reta que passa pelos pontos médios de dois lados opostos de ABCD (digamos , sem perda de generalidade) formam ângulos iguais com e, portanto com e , donde MP é bissetriz de . Logo MNPQ deve ser um losango, donde , e portanto (pois e ).



PROBLEMA 4

Sobre os lados AB e AC de um triângulo acutângulo ABC são construídos, exteriormente ao triângulo, semicírculos tendo estes lados como diâmetros. As retas contendo as alturas relativas aos lados AB e AC cortam esses semicírculos nos pontos P e Q. Prove que AP = AQ.


Solução

Sejam M o pé da altura relativa ao lado AB. Como o triângulo APB é retângulo em P, e PM é a altura de P em relação a AB temos Analogamente mostra-se que Portanto,



PROBLEMA 5

Seja f : N ? R uma função tal que



f(1) = 999 e f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2?f(n) para todo n inteiro positivo.

Determine o valor de f(1998).


Solução

Calculemos alguns valores de f(n):







Assim, temos e é razoável conjecturar que Para todo n ? N. Vamos provar esse fato: Para n ? 2 temos

Por hipótese de indução,

para k = 1, 2, …, n – 1, e portanto

como queríamos demonstrar.

Fazendo n = 1998 temos f(1998) =


PROBLEMA 6

O menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é 9990. Qual é o menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3?



Solução

1998 = 2 ? 999 = 2 ? 33 ? 37. Um número formado apenas pelos algarismos 0 e 3 é múltiplo de 33 se e somente se o número de algarismos 3 é múltiplo de 9 (pois ao dividi-lo por 3 obtemos um número que possui apenas os algarismos 0 e 1 que deve ser múltiplo de 9, o que ocorre se e só se o número de algarismos 1 é múltiplo de 9 ). Assim, o número desejado deve ter pelo menos 9 algarismos 3, e deve terminar por 0, por ser par. O menor número com essas propriedades é 3333333330, que é múltiplo de 1998 pois é par, é múltiplo de 33 e é múltiplo de 37 por ser múltiplo de 111 (é igual a 111 ? 30030030)).







Você sabia…

Que é possível (teoricamente) dividir uma bolinha de gude num número finito de pedaços, remontá-los com movimentos rígidos e obter uma bola (sem buracos) do tamanho da terra com uma manada de elefantes em

cima ? Isso é conseqüência do chamado Paradoxo de Banach-Tarski.

Você sabia…

Que o conjunto de valores positivos assumidos pelo polinômio

(k + 2){1– ( [wz + h + j – q]2 + [ (gk + 2g + k + 1) ? (h + j) + hz]2 +

[16(k + 1)3 ? (k + 2) (n + 1)2 + 1 – f 2]2 + [2n + p + q + z e]2 +

[e3 ? (e + 2) ? (a + 1)2 + 1 – o2]2 + [(a2 – 1) y2 + 1 – x2]2 +

[16r2y4 ? (a2– 1) + 1 – u2]2 + [((a + u2 ? (u2a))2 – 1) ? (n + 4dy)2 +

1 – (x + cu)2]2 + [(a2 – 1)l 2 + 1 – m2]2 +[ai + k + 1 – l – i]2 + [n + l + vy]2 +

[p + l (an – 1) + b (2an +2an2 – 2n – 2) – m]2 + [q + y (ap – 1) +



s ? (2ap + 2ap2 – 2p – 2) – x]2 + [z +pl (ap) + t (2app2 – 1) – pm]2)}

quando as variáveis a, b, c, …, z assumem valores naturais é o conjunto dos números primos ?









XX OLIMPIADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Problemas e melhores soluções da Terceira Fase
? Nível 1

PROBLEMA 1

Considere a tabela 3 ? 3 abaixo, onde todas as casas, inicialmente, contém zeros:

Para alterar os números da tabela, é permitida a seguinte operação: escolher uma sub-tabela 2 ? 2 formada por casas adjacentes, e somar 1 a todos os seus números.




  1. Diga se é possível, após uma seqüência de operações permitidas, chegar à tabela abaixo:




  1. Complete o quadro abaixo, sabendo que foi obtido por uma seqüência de operações permitidas:



Solução de Fábio Dias Moreira.

Antes de resolver o problema, é preciso notar que existem quatro quadrados 2 ? 2 no quadrado 3 ? 3. Analisando-os, percebemos que os quadrados do canto são afetados por apenas um deles. Com isso, deduzimos que cada número nos quadradinhos do canto indica o número de vezes que a operação permitida foi utilizada com o quadrado 2 ? 2 que continha o quadradinho do canto. Os quadradinhos do lado são afetados por dois quadrados diferentes, assim como no diagrama abaixo.

Como a cada utilização da operação permitida, se for utilizada uma das sub-tabelas escritas em um dos quadrados laterais, o quadradinho lateral aumentará em um, concluímos que o valor do quadradinho lateral é igual à soma dos dois quadradinhos da ponta adjacentes. O quadradinho central, como é afetado por todos os quatro quadrados, é fácil deduzir que ele nada mais é que o número de operações aplicados na tabela.




  1. Como os números dos quadradinhos do canto representam quantas vezes a sub-tabela que contém aquele quadradinho foi utilizada para fazer uma operação e o quadradinho central o número de operações feitas, podemos concluir que de acordo com o diagrama, A + B + C + D = E*. Mas no nosso caso, temos 7 + 2 + 8 + 10 = 25, ou 27 = 25. Absurdo. Concluímos então que é impossível obter esta tabela. Outra prova é que a cada operação, aumentamos em um o valor de quatro casos, mantendo o resultado divisível por quatro. No nosso caso, a soma dos números é 106, que não é divisível por 4.



  1. No diagrama acima, com os raciocínios antes do problema, temos: G = A + C, F = A + B, I = B + D e H = C + D. Portanto, no problema, 19 = 14 + C, onde C = 5. Com isso, 14 = 5 + D, onde D = 9. Prosseguindo com base em *, 36 = 5 + 9 + 14 + B, onde B = 8. F = 8 + 14 ? F = 22. Finalizando, 1 = 8 + 9 = 17. A tabela é



PROBLEMA 2

Encontre uma maneira de se escrever os algarismos de 1 a 9 em seqüência, de forma que os números determinados por quaisquer dois algarismos consecutivos sejam divisíveis ou por 7 ou por 13.



Solução de Andressa Rissetti Paim.

Múltiplos de 7 : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

Múltiplos de 13 : 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91.
Como nenhum dos múltiplos de 7 e 13, a não ser 77, terminava em 7, na seqüência, 7 deveria ser o 1?. número, então, o número formado foi 784913526.



Nota do editor: * significa que não dá para continuar sem repetir um número já usado.

PROBLEMA 3

Em um jogo existem 20 buracos vazios em fila e o jogador deve colocar um pino em cada buraco de acordo com as seguintes regras:




  1. Se colocar um pino em um buraco e se os dois buracos vizinhos estiverem vazios, o pino permanece.

  2. Se colocar um pino em um buraco e se um dos buracos vizinhos estiver ocupado, o pino deste buraco vizinho deve ser retirado.

  3. Se colocar um pino em um buraco e se os dois buracos vizinhos estiverem ocupados, então um dos pinos vizinhos deve ser retirado.

Determine qual é o número máximo de pinos que podem ser colocados.



Solução de Caio Magno Castro.

O número máximo é 19. Veja a explicação abaixo:

Começo colocando um pino no primeiro buraco da esquerda, pulo um buraco e coloco outro pino. Depois eu coloco um pino no buraco que está entre os dois e retiro o da direita. Depois pulo uma casa do segundo pino e coloco um terceiro pino. Depois coloco um pino entre o terceiro e o segundo pino e retiro o terceiro pino, o da direita. E faço essa operação sucessivamente até chegar ao último pino.

PROBLEMA 4

Sete números naturais são escritos em círculo. Sabe-se que, em cada par de números vizinhos, um deles divide o outro. Mostre que há dois números não vizinhos com a mesma propriedade (isto é: um deles divide o outro).


Solução de Márcio Jun Hisamoto.

Em cada dois números adjacentes pelo menos um é múltiplo do outro; desse modo é impossível fechar o círculo sem que algum número divida um outro número que não seja adjacente a ele, pois se a for múltiplo de b e b for múltiplo de c, então c divide a e já haverá dois números não vizinhos com a propriedade. Se a for múltiplo de b e c for múltiplo de b e d, e for múltiplo de d e q e o g não existisse, poderia não haver dois números não vizinhos com a mesma propriedade mas como o g existe ele terá de ser múltiplo de f e divisor de a. Desse modo f terá de ser divisor de a, sendo que com isso haverá a propriedade.


? ? Nível 2

PROBLEMA 1

Prove que em qualquer pentágono convexo existem dois ângulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a 216?.


Solução de Thiago Barros Rodrigues Costa.

Considere A, B, C, D e E os vértices do pentágono.

Suponha que não existam dois ângulos consecutivos cuja soma seja maior ou igual a 216?. Assim:









Somando membro a membro:

, mas a soma dos ângulos internos de um pentágono é 540?*. Logo é absurdo. Então pelo menos 2 ângulos consecutivos tem soma maior ou igual a 216?.

*Lema: A soma dos ângulos de um pentágono é 540?.

Prova: Seja P um ponto interior a ABCDE, logo P vai formar 5 triângulos no pentágono, a soma de todos os ângulos P dos triângulos é 360?. E a soma dos ângulos que restam é justamente a soma dos ângulos de ABCDE. A soma dos ângulos do pentágono é 5180? – 360? = 540?.
PROBLEMA 2

No triângulo ABC, D é o ponto médio de AB e E o ponto do lado BC tal que BE = 2 ? EC. Dado que os ângulos e são iguais, encontre o ângulo .



Solução de Daniel Pinheiro Sobreira.

Chamarei de P o ponto médio de . E chamarei BP = PE = EC = X. e BD = DA = y.

A interseção de com , chamarei de O. O triângulo DOA é isósceles, portanto . Chamarei de W.

O segmento DP é a base média do triângulo ABE, pois D é o ponto médio de e P é o ponto médio de , então DP // AE. Conseqüentemente os triângulos OCE e DCP são semelhantes, na razão de 1/2. Então temos = D , 2, W =

Chamarei o ângulo OÂD de ?, ? ADO, também será ?, e o ? ADC, será 2?, pois é externo ao triângulo DOA. Como = W e OC = W o triângulo ADC é isósceles e o ângulo da base é 90? – ?.

O ângulo BAC = ? + 90? – ?, BÂC = 90?.



PROBLEMA 3

Veja problema 3 do Nível 1.


PROBLEMA 4

São dados 15 números naturais maiores que 1 e menores que 1998 tais que dois quaisquer são primos entre si. Mostre que pelo menos um desses 15 números é primo.



Solução de Humberto Silva Naves.
Teorema: Dado um número n, composto, então ele possui um fator (?1) menor ou igual à raiz quadrada deste número.

Prova: Se n = a ? b, podemos ter ou a < , a = ou a > :

1.- a =

2.- a <

3.- a > ?

Em qualquer caso, temos um fator menor ou igual a e diferente de 1.
Resposta: Dado 1 < n < 1998, se ele não for primo, ele tem que ter um fator primo menor que , ou seja, um fator primo, menor que 45. Como só existem 14 primos menores que 45, e são 15 números, então um desses não terá fator primo menor que 45, logo será primo. (Pelo Corolário do teorema anterior.)
? ? ? Nível 3

Primeira Prova.

  1   2   3   4


La base de datos está protegida por derechos de autor ©espanito.com 2016
enviar mensaje