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1. matriz. Introducción


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1.- MATRIZ.

1.-1.  Introducción.

El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...

Las matrices son de suma importancia en el trabajo con nuestra ciencia, su uso es cada vez más frecuente en la modelación matemática de innumerables problemas.

El trabajo con las matrices se va haciendo más útil desde el momento mismo que su aplicación en la ciencia de la computación se ha venido perfeccionando, la programación estructurada y la forma bidimensional de entrada de los datos le da a las matrices un lugar privilegiado dentro de esta rama.



1.- 2. Matriz. Definición.

Una matriz de m x n, es un arreglo rectangular de m x n números reales colocados en m filas y n columnas

De manera general la representamos de la siguiente forma:

A =  

Con la notación a i j queremos decir el elemento de la matriz A que ocupa el lugar perteneciente a la fila i y a la columna j, i = 1... m y  j = 1 ... n.

El orden o tipo de la matriz  A  es  "m  por n",  donde  m es el número de filas y n es el número de columnas. Por ejemplo, sea la matriz M:



- Observación: Se dice que una matriz m x n tiene tamaño m x n.



Matriz cuadrada:

Las matrices en las que coincide el número de filas con el número de columnas se les llaman matrices cuadradas, o sea que si A es de orden m x n con m=n y se dice que la matriz A es cuadrada de orden n o sea A n.

A la diagonal que está formada por los elementos a 11, a22,..., a m n se le denomina diagonal principal y a la otra diagonal se le llama diagonal no principal. 

Ejemplo:



     La matriz A es una matriz cuadrada de orden 3.

1.- 3. Igualdad de matrices.

Sean las matrices:

Decimos que A = B si y sólo si aij = bij, eso quiere decir que dos matrices son iguales cuando cada elemento de la matriz A es igual al elemento de la matriz B que ocupa su misma posición.  

Ejemplo: 

Sean las matrices A y B:



Las matrices A y B son iguales ya que cada elemento aij = bij.


1.- 3. Operaciones con matrices

 a) Adición y sustracción de matrices.

Sean A y B matrices de m × n con elementos reales, donde A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma C = A + B donde cij = aij+ bij

Expresado de otra manera:

 

Análogamente se realiza la sustracción, siempre teniendo en cuenta los signos que tienen cada uno de los elementos de las respectivas matrices.



Ejemplo: Dadas las matrices , obtenga A+B y A - B



Propiedades de la suma de matrices:

Sean A, B y la matriz nula 0, del mismo orden:



  • A + (B + C) = (A + B) + C → Propiedad asociativa

  • A + B = B + A → Propiedad conmutativa

  • A + O = A → O es la matriz nula

  • A + (-A) = O → Siendo (-A) la matriz opuesta de A y se obtiene cambiando el signo de todos los elementos de A.

Ejercicio:

Calcule: B+A

¿Es conmutativa la suma de A y B?

b) Multiplicación de matrices por un escalar.

Sea A una matriz de m × n con elementos reales definiremos .



Ejemplo: 

Con λ = 2 y la matriz se obtiene:



Propiedades del producto de matrices por un escalar.

Sean A y B del mismo orden y un número real:



  • λ (A + B) = λA + λB

  • (λ + φ) A = λA + φA

  • λ (φA) = (λφ)A

  1. Multiplicación de matrices.

Sean A = (a i j ) de orden m x n y B = (b i j ) de orden n x p. Definimos el producto A.B como una nueva matriz C = ( c i j ) de orden m x p, donde i= 1,2…….m y j = 1,2…….p.


c i j = (renglón i de A) . (columna j de B) o sea:
c i j = ai 1 b1 j + ai 2 b2 j+……… +ai n bn j .

Esta suma se puede abreviar con la notación sumatoria ()

La componente cij del producto A.B queda: .

.



Observación: 

Para poder efectuar la multiplicación de dos matrices tienen que estar enlazadas, esto significa que el número de columnas de la primera tiene que ser igual al número de filas de la segunda. La matriz resultante tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda.



Ejemplos: 

1.- Efectúe si es posible, las multiplicaciones siguientes.





 

Estas matrices no se pueden multiplicar!

2.-  Dadas las matrices 

Obtenga el elemento c23 sabiendo que la matriz C se obtiene de multiplicar AB.

Para resolver este ejercicio no se necesita efectuar la multiplicación de las dos matrices, como se ha visto anteriormente para obtener un elemento de una matriz, en este caso particularmente el elemento c23 es el resultado de multiplicar la segunda fila de la primera matriz por la tercera columna de la segunda matriz.





Propiedades del producto de matrices.

- Sean las matrices A p x q, B p x q y C q x n, el producto de matrices es Asociativo, A (BC) = (AB) C .

- Sean las matrices A m x p , B p x q , en la multiplicación A. B B . A , vemos que q m, entonces: “El producto de matrices por lo general no es conmutativo” .

- Sean las matrices A m x p y B p x n , C p x n A (B + C) = AB + AC.



- Sean las matrices A m x p y B p x n , k R (k. A). B = k (A. B)= A(k. B)

Ejercicio:

Calcule el producto de las matrices A y B:



1.- 4. Matrices Especiales.

Tipos de matrices.

1.-  Matriz nula: es aquella que todos sus elementos son ceros. La matriz A es una matriz nula de orden 2.

2 Matriz fila: Es una matriz de orden 1 x n ,es aquella matriz que tiene una sola fila y cualquier cantidad de columnas, A = ( a 1, a2….an ).

Ejemplo: .

3 .-  Matriz columna: Es una matriz de orden m x 1que tiene una sola columna y cualquier cantidad de filas. Ejemplo:

Tipos de Matrices Cuadradas

1.-  Matriz identidad o unitaria: Es una matriz cuadrada cuyos elementos son tales que a ii = 1 y a ij = 0 si i es distinto de j .

Ejemplo: Matriz identidad ( I ) de orden 3.

2.-  Matriz Escalar: Es una matriz cuadrada cuyos elementos son tales que aii = k ( k 0) y a ij = 0 si i j



3.- Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor real y el resto de los elementos son ceros.

  matriz diagonal de orden 4.

4 .-  Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A, a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de A , la segunda fila de A es la segunda columna de A, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m × n, entonces A es de orden n × m.

 

Propiedades: Sean A y B matrices ( cuyos tamaños son de tal modo que las operaciones indicadas puedan ser realizadas) y sea k un escalar. Entonces:


  1. (A t) t = A ii) (A + B) t = At + Bt .

  1. (A B) t = B t A t iv ) (k A) t = k ( A t)

v) Si A es invertible, entonces At es invertible y ( A t) -1 = ( A -1) t.

5.-  Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A, es decir, si a i j = a i j t = a j i. Es decir A es simétrica sii los elementos ubicados simétricamente respecto de la diagonal principal son iguales.





Ejercicio:

a) Calcule el producto de dos matrices simétricas: AB y BA

¿Es conmutativo el producto de matrices simétricas?

b) Dada la matriz A = determinar x para que A sea simétrica.



6.- Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada A es antisimétrica si A= - A. Es decir si A es antisimétrica sii a i j = - a ti j = - a j i para todo i, j.

Observación:

- Si i = j , a i i = - a i i entonces i = j es aii = 0.

- Si ij , a t i j = a j i = - a i j .

- En una matriz antisimétrica los elementos ubicados en la diagonal son nulos.

Ejemplo:

7.-  Matriz triangular: Superior e inferior las matrices triangulares son todas aquellas matrices que sean cuadradas y que los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal sean ceros. Es triangular superior cuando los ceros están por debajo de la diagonal principal y

triangular inferior cuando los ceros están por encima de la diagonal superior.





Definiciones Útiles


  • Combinación Lineal de Filas de una Matriz: Dada la matriz A de orden m x n, se dice que la fila i de la matriz A es una combinación lineal de las filas p y q con coeficientes α y β números reales, si se cumple que:

a i 1 = α . a p 1 + β a q 1 ; a i 2 = α . a p 2 + β a q 2 ; ……… a i n = α . a p n + β a q n .



1.- 5. Rango de una matriz.

 
El rango de una matriz A es el número máximo de filas, o de columnas, linealmente independiente de A.

Definición de rango de una matriz.


Definición de dependencia lineal entre las filas o columnas de una matriz.

n filas de una matriz A son linealmente dependientes, si al menos una de ellas se puede expresar como combinación lineal de las demás.

Teniendo en cuenta la definición anterior, entenderemos que el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de una matriz A sea k, esto quiere decir, que existen k filas en A linealmente independientes y que cualquiera k +1 filas o columnas de A, son linealmente dependientes.

El rango de una matriz A se denota r(A). 

Operaciones Elementales de Fila de Matrices.

Definición

En este haremos referencia a las transformaciones elementales que se pueden realizar en una matriz para poder determinar su rango.

Las transformaciones elementales no alteran ni el orden, ni el rango de una matriz.

¿Cuáles pueden ser estas transformaciones?



Teorema: Sea A una matriz de orden m x n , llamaremos operaciones elementales de filas de A, a algunas de las siguientes operaciones:

  1. Multiplicar todos los elementos de una fila de la matriz por un número diferente de cero.

  2. Intercambiar o permutar dos filas de A.

  3. Sumar a una fila otra multiplicada por un escalar ( es lo mismo que decir: sustituir una fila de la matriz por el resultado de una combinación lineal de esa fila con otra fila, con coeficientes α y β números reales diferentes de cero) .

Las transformaciones anteriores se emplean en el cálculo del rango de una matriz para transformarla en una matriz triangular superior. En ocasiones este proceso del cálculo del rango de una matriz no da como resultado una matriz triangular superior porque se ha anulado la última fila o las últimas filas. A una matriz con esas características se le denomina matriz escalón, matriz de forma escalonada.

Nuestro trabajo lo centraremos en el estudio de la matriz escalón y veremos un método para determinar el rango de este tipo de matrices.

A continuación presentaremos un teorema que nos permite determinar el rango de las matrices escalón.

Definición de Matriz Escalón

Se dice que una matriz A es una matriz escalón o tiene forma de escalón, si en cada fila es mayor el Nº de ceros que precede al primer elemento no nulo de la fila; es decir, si existen elementos no nulos.



Teorema

Sea una matriz A de orden m × n en la que son ceros todos los elementos de las k últimas filas, entonces: r(A) = m – k



Observación:

  • El rango de una matriz escalón es igual al número de filas con elementos no nulos.

  • Mediante transformaciones elementales es posible transformar una matriz en una matriz escalón, equivalente a la dada.

  • Nos preguntamos: ¿ El rango de una matriz A y el de una matriz escalón equivalente a A será el mismo?. ¿Las transformaciones elementales alteran el rango de una matriz?


Teorema: Las transformaciones elementales no alteran ni el orden, ni el rango de una matriz.
Propiedad: Dos matrices equivalentes tienen el mismo orden y el mismo rango


Ejemplos:

     El rango de A es 4.

     El rango de B es 2.

     El rango de C es 4.

¿Cómo proceder en caso de que la matriz no esté en la forma trapezoidal o no se pueda determinar el rango directamente? Lo primero que se hace es llevar la matriz a la forma triangular superior.





1.- 6.

Matriz inversa

 Comenzaremos definiendo el concepto de matriz regular.

En el apartado anterior aprendimos a calcular el rango de una matriz y también sabemos cómo determinar el orden de una matriz, con estos elementos claros, podemos definir entonces matriz regular.


Definición:

Se llaman matrices regulares, a las matrices cuadradas cuyo orden es igual al rango(r) de la matriz.





Ejemplo: 

Determine cuáles de las siguientes matrices son regulares:



Recordemos que para determinar el rango de esta matriz nos hace falta llevarla a la forma trapezoidal.





Observación : Dijimos que el producto de matrices por lo general no es conmutativo, pero algunas matrices cuadradas conmutan. Estas matrices no solo conmutan sino que su resultado es la matriz identidad. En este caso se dice que ambas matrices son inversibles.


1 era Definición de matriz inversible

Una matriz cuadrada A es inversible, si existe otra matriz cuadrada B que conmuta con A y que cumple: A. B  = B. A  = I






2 da Definición de matriz inversible

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n x n. Suponga que



A. B  = B. A  = I. Entonces B se llama inversa de A y se denota

A-1, entonces se tiene: A . A-1 = A-1 . A = I

Si A tiene inversa, entonces se dice que A es inversible.





Ejemplo:

La matriz A= es inversible porque existe una matriz tal que:

A.B = y B.A =

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